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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
10.2 INTÉGRABILITÉ
10.2.1 Transformations canoniques
On appelle transformation canonique tout changement de variables dans la description de l’espace des phases : [p, q] → [P (p, q) , Q (p, q)] préservant la structure hamiltonienne de la dynamique ; c’est-à-dire, tel qu’il existe pour ces nouvelles
variables de position Q et moment P un hamiltonien K (P, Q). L’évolution dynamique des nouvelles variables [P, Q] étant donnée par les équations de Hamilton par
rapport à ce nouveau hamiltonien.
dP
dt
= −
∂ K
∂Q
,
dQ
dt
=
∂ K
∂P
On notera que les transformations canoniques sont beaucoup plus générales que les
transformations ponctuelles dans l’espace des positions, [q] → [Q (q)], puisqu’elles
considèrent sur un pied d’égalité position et moment. La définition des transformations canoniques ainsi énoncée peut paraître formelle et dénuée de vertu pratique. Il
n’en est rien, car un procédé de construction systématique de transformations canoniques : les fonctions génératrices, permet de faciliter leur recherche.
Considérons un système hamiltonien dont l’espace des phases est décrit par les
moments et positions [p, q] et la dynamique par le hamiltonien H (p, q, t). Nous
souhaitons décrire l’espace des phases par de nouvelles variables canoniques [P, Q]
associées à un nouveau hamiltonien K (P, Q, t). L’évolution dynamique de ce système hamiltonien peut être formulée de différentes manières, en particulier à travers le principe variationnel de Hamilton. En effet, les nouvelles variables [P, Q]
décrivent cette évolution dynamique sur la base des équations de Hamilton associées
au hamiltonien K et la trajectoire p (t), q (t), vérifiant le principe de Hamilton avec
H , doit être identique à la trajectoire P (t), Q (t) vérifiant le principe de Hamilton
avec K .
d
t2
t1
p·dq − Hdt
p(t),q(t)
= 0 → d
t2
t1
P·dQ − K dt
P(t),Q(t)
= 0
Une condition suffisante pour que ces deux principes d’extremum soient satisfaits
simultanément (le long de la trajectoire suivie par la particule) est obtenue en considérant que la différence entre les deux intégrants est la différentielle d’une fonction
F 1 (q, Q, t). Introduisons donc une fonction F 1 (q, Q, t) ; l’égalité des variations des
intégrales d’action est donc garantie si :
p·dq − H (p, q) dt = P·dQ − K (P, Q) dt + d F 1
(10.18)
F 1 (q, Q, t) est appelée fonction génératrice de première espèce et sa variation est
donnée par :
d F 1 =
∂ F 1
∂q
·dq +
∂ F 1
∂Q
·dQ +
∂ F 1
∂t
dt
(10.19)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
10.2 INTÉGRABILITÉ
10.2.1 Transformations canoniques
On appelle transformation canonique tout changement de variables dans la description de l’espace des phases : [p, q] → [P (p, q) , Q (p, q)] préservant la structure hamiltonienne de la dynamique ; c’est-à-dire, tel qu’il existe pour ces nouvelles
variables de position Q et moment P un hamiltonien K (P, Q). L’évolution dynamique des nouvelles variables [P, Q] étant donnée par les équations de Hamilton par
rapport à ce nouveau hamiltonien.
dP
dt
= −
∂ K
∂Q
,
dQ
dt
=
∂ K
∂P
On notera que les transformations canoniques sont beaucoup plus générales que les
transformations ponctuelles dans l’espace des positions, [q] → [Q (q)], puisqu’elles
considèrent sur un pied d’égalité position et moment. La définition des transformations canoniques ainsi énoncée peut paraître formelle et dénuée de vertu pratique. Il
n’en est rien, car un procédé de construction systématique de transformations canoniques : les fonctions génératrices, permet de faciliter leur recherche.
Considérons un système hamiltonien dont l’espace des phases est décrit par les
moments et positions [p, q] et la dynamique par le hamiltonien H (p, q, t). Nous
souhaitons décrire l’espace des phases par de nouvelles variables canoniques [P, Q]
associées à un nouveau hamiltonien K (P, Q, t). L’évolution dynamique de ce système hamiltonien peut être formulée de différentes manières, en particulier à travers le principe variationnel de Hamilton. En effet, les nouvelles variables [P, Q]
décrivent cette évolution dynamique sur la base des équations de Hamilton associées
au hamiltonien K et la trajectoire p (t), q (t), vérifiant le principe de Hamilton avec
H , doit être identique à la trajectoire P (t), Q (t) vérifiant le principe de Hamilton
avec K .
d
t2
t1
p·dq − Hdt
p(t),q(t)
= 0 → d
t2
t1
P·dQ − K dt
P(t),Q(t)
= 0
Une condition suffisante pour que ces deux principes d’extremum soient satisfaits
simultanément (le long de la trajectoire suivie par la particule) est obtenue en considérant que la différence entre les deux intégrants est la différentielle d’une fonction
F 1 (q, Q, t). Introduisons donc une fonction F 1 (q, Q, t) ; l’égalité des variations des
intégrales d’action est donc garantie si :
p·dq − H (p, q) dt = P·dQ − K (P, Q) dt + d F 1
(10.18)
F 1 (q, Q, t) est appelée fonction génératrice de première espèce et sa variation est
donnée par :
d F 1 =
∂ F 1
∂q
·dq +
∂ F 1
∂Q
·dQ +
∂ F 1
∂t
dt
(10.19)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit