10.2 Systèmes hamiltoniens
367
équations de Hamilton.
Invariant de Helmoltz-Poincaré :
d
dt
p·dq
= 0
(10.17)
q
p
Figure 10.5 Évolution d’un circuit dans l’espace des phases.
La démonstration de l’existence de cet invariant de Poincaré-Helmholtz est facilitée
par l’utilisation de la fonction caractéristique de Hamilton W dans le cas d’un hamiltonien indépendant du temps. Lorsque la position initiale et la position finale d’une
trajectoire varient de façon infinitésimale la variation de W s’écrit :
dW | E = p·dq − p 0 ·dq 0 .
La variation de W entre un point initial et un point final identique le long d’une
courbe est nulle. L’intégrale curviligne suivant une courbe fermée est donc aussi
nulle :
dW | E = 0 et l’invariant de Poincaré-Helmholtz est indépendant du temps :
p·dq−
p 0 ·dq 0 = 0.
Jusqu’à présent, nous avons établi un certain nombre de résultats formels sur l’action, les fonctions principale et caractéristique ainsi que sur les invariants de Poincaré. Mais nous n’avons pas réellement présenté des méthodes et des résultats qui
permettent d’attribuer au formalisme hamiltonien des vertus supérieures aux formalismes lagrangien et newtonien. Le chapitre suivant est consacré aux transformations
canoniques qui constituent l’outil principal de résolution des problèmes de dynamique formulés dans un cadre hamiltonien. Nous allons voir que ce concept de transformation canonique est spécifique à la mécanique hamiltonienne et lui confère une
puissance opérationnelle supérieure aux formulations newtonienne et lagrangienne.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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équations de Hamilton.
Invariant de Helmoltz-Poincaré :
d
dt
p·dq
= 0
(10.17)
q
p
Figure 10.5 Évolution d’un circuit dans l’espace des phases.
La démonstration de l’existence de cet invariant de Poincaré-Helmholtz est facilitée
par l’utilisation de la fonction caractéristique de Hamilton W dans le cas d’un hamiltonien indépendant du temps. Lorsque la position initiale et la position finale d’une
trajectoire varient de façon infinitésimale la variation de W s’écrit :
dW | E = p·dq − p 0 ·dq 0 .
La variation de W entre un point initial et un point final identique le long d’une
courbe est nulle. L’intégrale curviligne suivant une courbe fermée est donc aussi
nulle :
dW | E = 0 et l’invariant de Poincaré-Helmholtz est indépendant du temps :
p·dq−
p 0 ·dq 0 = 0.
Jusqu’à présent, nous avons établi un certain nombre de résultats formels sur l’action, les fonctions principale et caractéristique ainsi que sur les invariants de Poincaré. Mais nous n’avons pas réellement présenté des méthodes et des résultats qui
permettent d’attribuer au formalisme hamiltonien des vertus supérieures aux formalismes lagrangien et newtonien. Le chapitre suivant est consacré aux transformations
canoniques qui constituent l’outil principal de résolution des problèmes de dynamique formulés dans un cadre hamiltonien. Nous allons voir que ce concept de transformation canonique est spécifique à la mécanique hamiltonienne et lui confère une
puissance opérationnelle supérieure aux formulations newtonienne et lagrangienne.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit