10.1 Systèmes hamiltoniens
365
Considérons maintenant un système possédant N degrés de liberté et un élément de
volume décrivant, à un instant donné, un ensemble (continu) de systèmes dans l’espace des phases. Calculons l’évolution temporelle de cet élément de volume. Après
une durée infinitésimale dt les positions et les impulsions ont évolué conformément
aux équations de Hamilton.
q 1 = q 0 + dt
∂ H
∂p
0
+ O
dt
2
,
p 1 = p 0 − dt
∂ H
∂q
0
+ O
dt
2
Le rapport du volume final sur le volume initial est donné par le déterminant jacobien associé aux fonctions [q 1 (q 0 , p 0 ) , p 1 (q 0 , p 0 )]. Le rapport des volumes après
un instant dt est donc du deuxième ordre en dt.
∂ (p 1 , q 1 )
∂ (p 0 , q 0 )
=
Det
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 + dt
∂
2 H
∂p∂q
0
−dt
∂
2 H
∂q 2
0
dt
∂
2 H
∂p 2
0
1 − dt
∂
2 H
∂p∂q
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
= 1 + O
dt
2
Considérons maintenant l’évolution de cet ensemble de systèmes sur une durée finie
t et découpons cet intervalle de temps en M courts instants dt =
t
M
M→+∞
. Le
rapport du volume initial au volume final est donné par le déterminant du produit des
matrices jacobiennes décrivant chaque évolution infinitésimale.
∂ [p (t) , q (t)]
∂ [p 0 , q 0 ]
=
1 + O
t
M
2 M
−→ 1
M→+∞
Ce résultat est parfois formulé de façon concise et imagée ainsi : l’écoulement hamiltonien dans l’espace des phases est incompressible.
Invariant de Liouville-Poincaré :
d
dt
dpdq
= 0
(10.16)
Cette propriété est très importante car elle conditionne l’évolution des systèmes
hamiltoniens de manière restrictive. En particulier, les systèmes hamiltoniens
non-linéaires évoluent en créant des harmoniques d’ordres élevés par couplages
non-linéaires. Ces harmoniques d’ordres élevés sont la source de structures à petite
échelle dans l’espace des phases (Figure 10.4) ; la compatibilité entre cette génération de structures à petites échelles et l’incompressibilité implique une filamentation
dans l’espace des phases. La fragilité structurelle de cette filamentation constitue
l’une des origine du régime chaotique qui sera étudié dans le dernier paragraphe.
Cette invariance du volume d’espace des phases occupé par un ensemble de systèmes se traduit par un bilan gain-perte entre le sous-espace des configurations q
et le sous-espace des impulsions p : ce qui est perdu par l’un est nécessairement
gagné par l’autre. Ainsi, lors d’une transformation adiabatique pour un gaz parfait
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Considérons maintenant un système possédant N degrés de liberté et un élément de
volume décrivant, à un instant donné, un ensemble (continu) de systèmes dans l’espace des phases. Calculons l’évolution temporelle de cet élément de volume. Après
une durée infinitésimale dt les positions et les impulsions ont évolué conformément
aux équations de Hamilton.
q 1 = q 0 + dt
∂ H
∂p
0
+ O
dt
2
,
p 1 = p 0 − dt
∂ H
∂q
0
+ O
dt
2
Le rapport du volume final sur le volume initial est donné par le déterminant jacobien associé aux fonctions [q 1 (q 0 , p 0 ) , p 1 (q 0 , p 0 )]. Le rapport des volumes après
un instant dt est donc du deuxième ordre en dt.
∂ (p 1 , q 1 )
∂ (p 0 , q 0 )
=
Det
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1 + dt
∂
2 H
∂p∂q
0
−dt
∂
2 H
∂q 2
0
dt
∂
2 H
∂p 2
0
1 − dt
∂
2 H
∂p∂q
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
= 1 + O
dt
2
Considérons maintenant l’évolution de cet ensemble de systèmes sur une durée finie
t et découpons cet intervalle de temps en M courts instants dt =
t
M
M→+∞
. Le
rapport du volume initial au volume final est donné par le déterminant du produit des
matrices jacobiennes décrivant chaque évolution infinitésimale.
∂ [p (t) , q (t)]
∂ [p 0 , q 0 ]
=
1 + O
t
M
2 M
−→ 1
M→+∞
Ce résultat est parfois formulé de façon concise et imagée ainsi : l’écoulement hamiltonien dans l’espace des phases est incompressible.
Invariant de Liouville-Poincaré :
d
dt
dpdq
= 0
(10.16)
Cette propriété est très importante car elle conditionne l’évolution des systèmes
hamiltoniens de manière restrictive. En particulier, les systèmes hamiltoniens
non-linéaires évoluent en créant des harmoniques d’ordres élevés par couplages
non-linéaires. Ces harmoniques d’ordres élevés sont la source de structures à petite
échelle dans l’espace des phases (Figure 10.4) ; la compatibilité entre cette génération de structures à petites échelles et l’incompressibilité implique une filamentation
dans l’espace des phases. La fragilité structurelle de cette filamentation constitue
l’une des origine du régime chaotique qui sera étudié dans le dernier paragraphe.
Cette invariance du volume d’espace des phases occupé par un ensemble de systèmes se traduit par un bilan gain-perte entre le sous-espace des configurations q
et le sous-espace des impulsions p : ce qui est perdu par l’un est nécessairement
gagné par l’autre. Ainsi, lors d’une transformation adiabatique pour un gaz parfait
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit