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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
10.1.3 Invariants de Poincaré
Que ce soit sur la base des équations de Hamilton, ou sur la base de l’équation de
Hamilton-Jacobi, l’objectif est toujours d’exprimer les trajectoires dans l’espace des
phases en fonction du temps. Mais, un autre point de vue peut être considéré pour
résoudre un problème de dynamique : p (t) et q (t) sont des fonctions inconnues du
temps mais il existe peut-être des combinaisons de ces fonctions telles que les variations temporelles soient combinées de façon à se compenser mutuellement. Ainsi,
il est peut-être possible de construire des invariants du mouvement. La mécanique
hamiltonienne est bien adaptée pour mettre en œuvre une stratégie particulièrement
efficace de recherche d’invariants grâce aux transformations canoniques générant les
variables d’actions pour les systèmes intégrables.
Avant d’étudier les invariants associés à un système, considérons les invariants
associés à un ensemble de systèmes. Pour un système possédant N degrés de liberté,
Poincaré a démontré l’existence de N invariants de ce type. Parmi ces N invariants,
les plus utiles sont le premier invariant de Poincaré : l’invariant de HelmoltzPoincaré, et le dernier invariant de Poincaré : l’invariant de Liouville-Poincaré.
L’évolution inertielle d’un ensemble de systèmes à un degré de liberté offre une
illustration de ces invariants.
Considérons dans l’espace des phases [ p, q] d’un système à un degré de liberté, à un
instant donné, un élément de volume
dpdq
0
ainsi que la circulation le long
d’une courbe fermée
pdq
0
, le volume d’espace des phases et le circuit étant
initialement un rectangle.
p
t
q
δp
δq
δq
δp
Figure 10.3 Évolution inertielle d’un volume et d’un circuit dans l’espace des phases.
La figure 10.3 illustre l’évolution de cet élément de volume et de ce circuit rectangulaire élémentaire, la surface et la circulation restent invariantes au cours du temps
car q ∼ pt.
dpdq
0
= d pdq =
dpdq
t
,
pdq
0
= d pdq =
pdq
t
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
10.1.3 Invariants de Poincaré
Que ce soit sur la base des équations de Hamilton, ou sur la base de l’équation de
Hamilton-Jacobi, l’objectif est toujours d’exprimer les trajectoires dans l’espace des
phases en fonction du temps. Mais, un autre point de vue peut être considéré pour
résoudre un problème de dynamique : p (t) et q (t) sont des fonctions inconnues du
temps mais il existe peut-être des combinaisons de ces fonctions telles que les variations temporelles soient combinées de façon à se compenser mutuellement. Ainsi,
il est peut-être possible de construire des invariants du mouvement. La mécanique
hamiltonienne est bien adaptée pour mettre en œuvre une stratégie particulièrement
efficace de recherche d’invariants grâce aux transformations canoniques générant les
variables d’actions pour les systèmes intégrables.
Avant d’étudier les invariants associés à un système, considérons les invariants
associés à un ensemble de systèmes. Pour un système possédant N degrés de liberté,
Poincaré a démontré l’existence de N invariants de ce type. Parmi ces N invariants,
les plus utiles sont le premier invariant de Poincaré : l’invariant de HelmoltzPoincaré, et le dernier invariant de Poincaré : l’invariant de Liouville-Poincaré.
L’évolution inertielle d’un ensemble de systèmes à un degré de liberté offre une
illustration de ces invariants.
Considérons dans l’espace des phases [ p, q] d’un système à un degré de liberté, à un
instant donné, un élément de volume
dpdq
0
ainsi que la circulation le long
d’une courbe fermée
pdq
0
, le volume d’espace des phases et le circuit étant
initialement un rectangle.
p
t
q
δp
δq
δq
δp
Figure 10.3 Évolution inertielle d’un volume et d’un circuit dans l’espace des phases.
La figure 10.3 illustre l’évolution de cet élément de volume et de ce circuit rectangulaire élémentaire, la surface et la circulation restent invariantes au cours du temps
car q ∼ pt.
dpdq
0
= d pdq =
dpdq
t
,
pdq
0
= d pdq =
pdq
t
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