10.1 Systèmes hamiltoniens
363
Hamilton W (q, q 0 , E) :
W = S + Et → dW = p·dq − p 0 ·dq 0 + td E
(10.14)
Les formulations hamiltoniennes de l’optique électronique et de l’optique photonique sont construites sur la base de cette fonction caractéristique de Hamilton.
Que ce soient la fonction principale S (q, q 0 , t) ou la fonction caractéristique
W (q, q 0 , E) il semble en première analyse que leurs expressions en fonction des
positions initiale et finale nécessitent la connaissance de la trajectoire, c’est-à-dire
la solution des équations de Hamilton. En fait ces deux fonctions peuvent être
exprimées comme solutions des équations dites de Hamilton-Jacobi sans qu’il soit
nécessaire de résoudre les équations de Hamilton et de calculer l’intégrale d’action le
long d’une trajectoire naturelle. Nous avons établi précédemment les deux identités
permettant d’exprimer le moment et l’énergie en fonction de l’action : p =∂ S/∂q
et H (p, q, t) = −∂ S/∂t, S vérifie donc l’équation aux dérivées partielles obtenue en éliminant p, cette équation est appelée équation de Hamilton-Jacobi. La
fonction caractéristique de Hamilton W (q, q 0 , E) est aussi solution d’une équation
également appelée par extension équation de Hamilton-Jacobi :
∂ S
∂t
+ H
∂ S
∂q
, q, t
= 0,
H
∂W
∂q
, q
= E
(10.15)
Ces deux équations de Hamilton-Jacobi permettent donc de construire une nouvelle formulation de la mécanique. L’usage est de considérer le lagrangien et le
hamiltonien et de résoudre les équations différentielles ordinaires sur les positions et
moments dans le cadre d’un problème aux conditions initiales. Les développements
précédents permettent de considérer une stratégie alternative : la donnée du hamiltonien permet d’établir l’équation de Hamilton-Jacobi. Cette équation aux dérivées
partielles est résolue comme un problème aux conditions aux limites.
Lagrangien :
L
q,
.
q , t
→
d
dt
∂ L
∂
.
q
=
∂ L
∂q
Hamiltonien :
H (p, q, t) →
dp
dt
= −
∂ H
∂q
,
dq
dt
=
∂ H
∂p
Action de Jacobi : S (q, q 0 , t) → p =
∂ S (q, q 0 , t)
∂q
, p 0 = −
∂ S (q, q 0 , t)
∂q 0
L’expression de S ainsi obtenue permet ensuite d’exprimer les positions et moments
en fonction des conditions initiales. Cette dernière étape suppose la résolution
d’un système d’équations algébriques sans garantie de succès. Le tableau ci-dessus
résume les différentes formulations possibles d’un problème de dynamique d’un
système de particules chargées.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
363
Hamilton W (q, q 0 , E) :
W = S + Et → dW = p·dq − p 0 ·dq 0 + td E
(10.14)
Les formulations hamiltoniennes de l’optique électronique et de l’optique photonique sont construites sur la base de cette fonction caractéristique de Hamilton.
Que ce soient la fonction principale S (q, q 0 , t) ou la fonction caractéristique
W (q, q 0 , E) il semble en première analyse que leurs expressions en fonction des
positions initiale et finale nécessitent la connaissance de la trajectoire, c’est-à-dire
la solution des équations de Hamilton. En fait ces deux fonctions peuvent être
exprimées comme solutions des équations dites de Hamilton-Jacobi sans qu’il soit
nécessaire de résoudre les équations de Hamilton et de calculer l’intégrale d’action le
long d’une trajectoire naturelle. Nous avons établi précédemment les deux identités
permettant d’exprimer le moment et l’énergie en fonction de l’action : p =∂ S/∂q
et H (p, q, t) = −∂ S/∂t, S vérifie donc l’équation aux dérivées partielles obtenue en éliminant p, cette équation est appelée équation de Hamilton-Jacobi. La
fonction caractéristique de Hamilton W (q, q 0 , E) est aussi solution d’une équation
également appelée par extension équation de Hamilton-Jacobi :
∂ S
∂t
+ H
∂ S
∂q
, q, t
= 0,
H
∂W
∂q
, q
= E
(10.15)
Ces deux équations de Hamilton-Jacobi permettent donc de construire une nouvelle formulation de la mécanique. L’usage est de considérer le lagrangien et le
hamiltonien et de résoudre les équations différentielles ordinaires sur les positions et
moments dans le cadre d’un problème aux conditions initiales. Les développements
précédents permettent de considérer une stratégie alternative : la donnée du hamiltonien permet d’établir l’équation de Hamilton-Jacobi. Cette équation aux dérivées
partielles est résolue comme un problème aux conditions aux limites.
Lagrangien :
L
q,
.
q , t
→
d
dt
∂ L
∂
.
q
=
∂ L
∂q
Hamiltonien :
H (p, q, t) →
dp
dt
= −
∂ H
∂q
,
dq
dt
=
∂ H
∂p
Action de Jacobi : S (q, q 0 , t) → p =
∂ S (q, q 0 , t)
∂q
, p 0 = −
∂ S (q, q 0 , t)
∂q 0
L’expression de S ainsi obtenue permet ensuite d’exprimer les positions et moments
en fonction des conditions initiales. Cette dernière étape suppose la résolution
d’un système d’équations algébriques sans garantie de succès. Le tableau ci-dessus
résume les différentes formulations possibles d’un problème de dynamique d’un
système de particules chargées.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit