362
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
finaux sont donc les dérivées de l’action par rapport aux positions initiale et finale.
p =
∂ S (q, q 0 , t)
∂q
,
p 0 = −
∂ S (q, q 0 , t)
∂q 0
(10.12)
Ces deux identités constituent une solution des équations de Hamilton. En effet,
la relation p 0 = −∂ S (q, q 0 , t) /∂q 0 permet d’exprimer la position q (p 0 , q 0 , t)
en fonction du temps t et des conditions initiales q 0 et p 0 ; ensuite, la relation
p = ∂ S (q, q 0 , t) /∂q permet d’exprimer p (p 0 , q 0 , t). La trajectoire du système dans
l’espace des phases est ainsi déterminée. Cette solution doit cependant être considérée comme formelle, car p 0 = −∂ S (q, q 0 , t) /∂q 0 ne constituent pas en général
un système d’équations algébriques d’inconnues q possédant des solutions analytiques et la fonction S (q, q 0 , t) calculée suivant la trajectoire naturelle ne peut être
exprimée que si le problème est intégrable par quadrature. Le raisonnement qui vient
d’être développé suppose que la donnée de base de notre problème est le hamiltonien. Ce n’est pas toujours le cas ; par exemple, en optique électronique et photonique
la donnée de base est S (q, q 0 , t) l’eikonal des opticiens et l’ensemble des relations
démontrées précédemment devient alors opérationnel. En particulier, la théorie des
aberrations dans les systèmes paraxiaux est aisément développée en considérant S
comme un polynôme dont les ordres élevés constituent la source des aberrations
d’ordre supérieur.
Afin d’établir l’équivalence entre la donnée de la fonction principale de Hamilton S
et le hamiltonien H , exprimons ce dernier en fonction de S. D’une part, compte tenu
de la définition de l’action, sa dérivée temporelle n’est autre que le lagrangien.
S =
t
0
Ldu →
d S
dt
= L
D’autre part, la dérivée de la fonction principale de Hamilton par rapport au temps
est donnée par :
d S
dt
=
∂ S
∂t
+
∂ S
∂q
·
dq
dt
=
∂ S
∂t
+ p·
.
q →
∂ S
∂t
= L − p·
.
q = −H
La dérivée partielle de la fonction principale de Hamilton par rapport au temps est
donc égale à l’opposé du hamiltonien. L’expression finale de la variation infinitésimale de la fonction principale de Hamilton S (q, q 0 , t) s’établit donc comme suit :
d S = p·dq − p 0 ·dq 0 − Hdt
(10.13)
L’action de Jacobi ou fonction principale de Hamilton contient toute l’information
sur un système dynamique. Ses transformées de Legendre constituent aussi des fonctions permettant de poser un problème de dynamique sans perte d’information par
rapport à la fonction originale. Parmi ces différentes transformées de Legendre il est
d’usage de définir l’action de Maupertuis ou fonction caractéristique de Hamilton
comme la transformée de Legendre par rapport au temps de la fonction principale de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
finaux sont donc les dérivées de l’action par rapport aux positions initiale et finale.
p =
∂ S (q, q 0 , t)
∂q
,
p 0 = −
∂ S (q, q 0 , t)
∂q 0
(10.12)
Ces deux identités constituent une solution des équations de Hamilton. En effet,
la relation p 0 = −∂ S (q, q 0 , t) /∂q 0 permet d’exprimer la position q (p 0 , q 0 , t)
en fonction du temps t et des conditions initiales q 0 et p 0 ; ensuite, la relation
p = ∂ S (q, q 0 , t) /∂q permet d’exprimer p (p 0 , q 0 , t). La trajectoire du système dans
l’espace des phases est ainsi déterminée. Cette solution doit cependant être considérée comme formelle, car p 0 = −∂ S (q, q 0 , t) /∂q 0 ne constituent pas en général
un système d’équations algébriques d’inconnues q possédant des solutions analytiques et la fonction S (q, q 0 , t) calculée suivant la trajectoire naturelle ne peut être
exprimée que si le problème est intégrable par quadrature. Le raisonnement qui vient
d’être développé suppose que la donnée de base de notre problème est le hamiltonien. Ce n’est pas toujours le cas ; par exemple, en optique électronique et photonique
la donnée de base est S (q, q 0 , t) l’eikonal des opticiens et l’ensemble des relations
démontrées précédemment devient alors opérationnel. En particulier, la théorie des
aberrations dans les systèmes paraxiaux est aisément développée en considérant S
comme un polynôme dont les ordres élevés constituent la source des aberrations
d’ordre supérieur.
Afin d’établir l’équivalence entre la donnée de la fonction principale de Hamilton S
et le hamiltonien H , exprimons ce dernier en fonction de S. D’une part, compte tenu
de la définition de l’action, sa dérivée temporelle n’est autre que le lagrangien.
S =
t
0
Ldu →
d S
dt
= L
D’autre part, la dérivée de la fonction principale de Hamilton par rapport au temps
est donnée par :
d S
dt
=
∂ S
∂t
+
∂ S
∂q
·
dq
dt
=
∂ S
∂t
+ p·
.
q →
∂ S
∂t
= L − p·
.
q = −H
La dérivée partielle de la fonction principale de Hamilton par rapport au temps est
donc égale à l’opposé du hamiltonien. L’expression finale de la variation infinitésimale de la fonction principale de Hamilton S (q, q 0 , t) s’établit donc comme suit :
d S = p·dq − p 0 ·dq 0 − Hdt
(10.13)
L’action de Jacobi ou fonction principale de Hamilton contient toute l’information
sur un système dynamique. Ses transformées de Legendre constituent aussi des fonctions permettant de poser un problème de dynamique sans perte d’information par
rapport à la fonction originale. Parmi ces différentes transformées de Legendre il est
d’usage de définir l’action de Maupertuis ou fonction caractéristique de Hamilton
comme la transformée de Legendre par rapport au temps de la fonction principale de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit