10.1 Systèmes hamiltoniens
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Considérons l’action comme une fonction des points de départ et d’arrivée (q 0 , q) et
calculons sa variation lorsque ces points de départ et d’arrivée pour une trajectoire
de référence (vérifiant les équations de Lagrange ou Hamilton) sont déplacés d’une
quantité infinitésimale (dq 0 , dq). Pour effectuer ce calcul considérons une variation
continue de cette trajectoire de référence :
q (u) ,
·
q (u)
→
q (u) + dq (u) ,
·
q (u) + d
.
q (u)
telle que
·
q (u) = ddq (u) /dt.
t
δq
δq 0
δS = 0
δS = 0
t 0
q 0
q
Figure 10.2 Trajectoires réelles voisines.
Contrairement au cas précédent cette déformation de la trajectoire n’est pas soumise
à la contrainte dq (t) = dq (0) = 0, par contre
q (u) ,
·
q (u)
et
q (u) + dq (u) ,
·
q (u) + d
.
q (u)
sont ici solutions des équations d’Euler-Lagrange (Figure 10.2). L’expression de la
variation au premier ordre de l’action est donc donnée par :
dS =
t
0
∂ L
dq
·dq (u) −
d
du
∂ L
d
.
q
·dq (u)
du +
∂ L
d
.
q
·dq (u)
t
0
Le premier terme du membre de gauche de cette identité est nul car la trajectoire
de référence considérée est réalisée par la nature et vérifie les équations d’EulerLagrange. La variation de l’action, considérée comme fonction du point de départ
et du point d’arrivée et calculée suivant les trajectoires vérifiant les équations de
Lagrange, a donc pour expression : dS = p·dq − p 0 ·dq 0 . Les moments initiaux et
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