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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
décrivant une orbite [p (t) , q (t)] non nécessairement réalisée par la nature, c’est-àdire ne satisfaisant pas nécessairement les équations de Hamilton.
S [p (t) , q (t)] =
t2
t1
p (t) ·
·
q (t) − H (p (t) , q (t) , t)
dt
Considérons un ensemble de trajectoires [q (t) , p (t)] partant d’un point donné à
un instant t 1 et se terminant en un point donné à un instant t 2 . Considérons l’ensemble des trajectoires voisines d’une trajectoire de référence et calculons la variation de l’action résultant des variations infinitésimales dq (t) et dp (t) (telles que
dq (t 1 ) = dq (t 2 ) = 0) décrivant cette famille de trajectoires. La variation d’action
associée à la déformation de la trajectoire de référence est donnée par :
dS =
t2
t1
p·d
.
q +dp·
.
q −
∂ H
∂p
·dp −
∂ H
∂q
·dq
dt
Le théorème d’intégration par partie permet d’exprimer la variation de l’intégrant en
fonction de dq (t) et dp (t) :
dS =
t2
t1
−
.
p ·dq+
.
q ·dp −
∂ H
∂p
·dp −
∂ H
∂q
·dq
dt
La trajectoire de référence est alors solution des équations de Hamilton (10.8) si
l’action est extremum. L’étude de la variation du deuxième ordre montrerait que cet
extremum est un minimum.
dS| dq(t1)=dq(t2)=0 = 0 ⇔
dp
dt
= −
∂ H
∂q
,
dq
dt
=
∂ H
∂p
L’action, que nous venons de définir et d’utiliser ici pour établir l’équivalence entre
les équations de Lagrange et Hamilton et le principe variationnel de Hamilton, est
considérée comme une fonctionnelle, c’est-à-dire un procédé faisant correspondre à
une fonction un nombre :
q (t) ,
·
q (t)
ou [p (t) , q (t)] → S. L’action peut aussi être
considérée comme une fonction.
Dans ce cas, elle est calculée uniquement sur les trajectoires vérifiant les équations
de Lagrange ou Hamilton et doit alors être considérée comme une fonction du point
de départ q 0 et du point d’arrivée q.
L’action est alors dénommée action de Jacobi ou fonction principale de Hamilton.
S (q, q 0 , t) =
t
0
L
q (u) ,
.
q (u) , u
d
dt
∂ L
∂
.
q
=
∂ L
∂q
du
(10.11)
La fonction principale de Hamilton ainsi définie permet de formuler et de résoudre
les problèmes de dynamique d’une manière totalement originale.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
décrivant une orbite [p (t) , q (t)] non nécessairement réalisée par la nature, c’est-àdire ne satisfaisant pas nécessairement les équations de Hamilton.
S [p (t) , q (t)] =
t2
t1
p (t) ·
·
q (t) − H (p (t) , q (t) , t)
dt
Considérons un ensemble de trajectoires [q (t) , p (t)] partant d’un point donné à
un instant t 1 et se terminant en un point donné à un instant t 2 . Considérons l’ensemble des trajectoires voisines d’une trajectoire de référence et calculons la variation de l’action résultant des variations infinitésimales dq (t) et dp (t) (telles que
dq (t 1 ) = dq (t 2 ) = 0) décrivant cette famille de trajectoires. La variation d’action
associée à la déformation de la trajectoire de référence est donnée par :
dS =
t2
t1
p·d
.
q +dp·
.
q −
∂ H
∂p
·dp −
∂ H
∂q
·dq
dt
Le théorème d’intégration par partie permet d’exprimer la variation de l’intégrant en
fonction de dq (t) et dp (t) :
dS =
t2
t1
−
.
p ·dq+
.
q ·dp −
∂ H
∂p
·dp −
∂ H
∂q
·dq
dt
La trajectoire de référence est alors solution des équations de Hamilton (10.8) si
l’action est extremum. L’étude de la variation du deuxième ordre montrerait que cet
extremum est un minimum.
dS| dq(t1)=dq(t2)=0 = 0 ⇔
dp
dt
= −
∂ H
∂q
,
dq
dt
=
∂ H
∂p
L’action, que nous venons de définir et d’utiliser ici pour établir l’équivalence entre
les équations de Lagrange et Hamilton et le principe variationnel de Hamilton, est
considérée comme une fonctionnelle, c’est-à-dire un procédé faisant correspondre à
une fonction un nombre :
q (t) ,
·
q (t)
ou [p (t) , q (t)] → S. L’action peut aussi être
considérée comme une fonction.
Dans ce cas, elle est calculée uniquement sur les trajectoires vérifiant les équations
de Lagrange ou Hamilton et doit alors être considérée comme une fonction du point
de départ q 0 et du point d’arrivée q.
L’action est alors dénommée action de Jacobi ou fonction principale de Hamilton.
S (q, q 0 , t) =
t
0
L
q (u) ,
.
q (u) , u
d
dt
∂ L
∂
.
q
=
∂ L
∂q
du
(10.11)
La fonction principale de Hamilton ainsi définie permet de formuler et de résoudre
les problèmes de dynamique d’une manière totalement originale.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit