10.1 Systèmes hamiltoniens
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et la variation infinitésimale de cette action est obtenue en considérant la limite
dq (t) → 0 et d
.
q (t) → 0.
dS =
t2
t1
∂ L
∂q
·dq +
∂ L
∂
.
q
·d
.
q
dt
Le théorème d’intégration par partie permet d’éliminer d
.
q = ddq (t) /dt et d’exprimer la variation d’action comme une forme intégrale linéaire de la déformation de la
trajectoire de référence dq (t).
dS =
t2
t1
∂ L
∂q
−
d
dt
∂ L
∂
.
q
·dq (t) dt
Il apparaît alors clairement que si pour tout dq la variation de l’action est nulle au
voisinage d’une trajectoire, dS = 0, c’est-à-dire si cette trajectoire réalise un optimum d’action par rapport aux trajectoires voisines, alors cette trajectoire satisfait aux
équations de Lagrange et réciproquement.
Un calcul de la variation de l’action à l’ordre deux permettrait de démontrer que cet
optimum est un minimum.
dS| dq(t1)=dq(t2)=0 = 0 ⇐⇒
d
dt
∂ L
∂
.
q
=
∂ L
∂q
(10.10)
Il est donc possible de reformuler les lois de la mécanique de la façon suivante : la
trajectoire suivie par une particule entre un point de départ donné à un instant donné
et un point d’arrivée donné à un instant donné est celle qui rend l’intégrale d’action
entre ces deux instants minimum.
Nous venons de formuler le principe variationnel de Hamilton. Le formalisme
lagrangien n’apparaît désormais plus comme un simple changement de variable,
mais comme un changement radical de point de vue.
En effet, le problème du calcul de la trajectoire est formulé ici comme un
problème aux conditions aux limites où le point de départ et le point d’arrivée
sont fixés alors que, dans le cadre newtonien, le calcul des trajectoires est un
problème de type conditions initiales où la position et la vitesse initiales sont
données.
Une formulation en terme de conditions aux limites est, par exemple, particulièrement bien adaptée en optique électronique où les plans objets et les plans images
sont des données de base du problème.
L’action peut aussi être utilisée pour formuler un principe variationnel équivalent aux
équations de Hamilton. Exprimons l’action en fonction des variables hamiltoniennes
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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et la variation infinitésimale de cette action est obtenue en considérant la limite
dq (t) → 0 et d
.
q (t) → 0.
dS =
t2
t1
∂ L
∂q
·dq +
∂ L
∂
.
q
·d
.
q
dt
Le théorème d’intégration par partie permet d’éliminer d
.
q = ddq (t) /dt et d’exprimer la variation d’action comme une forme intégrale linéaire de la déformation de la
trajectoire de référence dq (t).
dS =
t2
t1
∂ L
∂q
−
d
dt
∂ L
∂
.
q
·dq (t) dt
Il apparaît alors clairement que si pour tout dq la variation de l’action est nulle au
voisinage d’une trajectoire, dS = 0, c’est-à-dire si cette trajectoire réalise un optimum d’action par rapport aux trajectoires voisines, alors cette trajectoire satisfait aux
équations de Lagrange et réciproquement.
Un calcul de la variation de l’action à l’ordre deux permettrait de démontrer que cet
optimum est un minimum.
dS| dq(t1)=dq(t2)=0 = 0 ⇐⇒
d
dt
∂ L
∂
.
q
=
∂ L
∂q
(10.10)
Il est donc possible de reformuler les lois de la mécanique de la façon suivante : la
trajectoire suivie par une particule entre un point de départ donné à un instant donné
et un point d’arrivée donné à un instant donné est celle qui rend l’intégrale d’action
entre ces deux instants minimum.
Nous venons de formuler le principe variationnel de Hamilton. Le formalisme
lagrangien n’apparaît désormais plus comme un simple changement de variable,
mais comme un changement radical de point de vue.
En effet, le problème du calcul de la trajectoire est formulé ici comme un
problème aux conditions aux limites où le point de départ et le point d’arrivée
sont fixés alors que, dans le cadre newtonien, le calcul des trajectoires est un
problème de type conditions initiales où la position et la vitesse initiales sont
données.
Une formulation en terme de conditions aux limites est, par exemple, particulièrement bien adaptée en optique électronique où les plans objets et les plans images
sont des données de base du problème.
L’action peut aussi être utilisée pour formuler un principe variationnel équivalent aux
équations de Hamilton. Exprimons l’action en fonction des variables hamiltoniennes
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit