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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
10.1.2 Intégrale d’action
Définissons l’action S associée à une trajectoire
q (t) ,
.
q (t)
non nécessairement
réalisée par la nature, c’est-à-dire ne satisfaisant pas nécessairement les équations de
Lagrange (10.5).
S
q (t) ,
.
q (t)
≡
t2
t1
L
q (t) ,
.
q (t) , t
dt
(10.9)
Formulons ensuite le principe variationnel de Hamilton. Considérons pour cela l’ensemble des trajectoires
q (t) ,
.
q (t)
issues d’un point de départ donné q 1 à un instant
t 1 et aboutissant à un point d’arrivée donné q 2 à un instant t 2 (Figure 10.1). La nature
ne réalise qu’une seule de ces trajectoires et l’ensemble des autres trajectoires peut
être qualifié de virtuel.
t 2
δq(t)
t 1
q 1
q 2
q(t)
Figure 10.1 Famille de trajectoire virtuelles voisines.
Calculons la variation d’action dS associée à un changement de trajectoire décrit par
les incréments infinitésimaux dq (t) et d
.
q (t) (Figure 10.1) par rapport à une trajectoire de référence (d
.
q (t) = ddq (t) /dt ). Le caractère commun des points de
départ et d’arrivée pour l’ensemble des trajectoires s’exprime par les contraintes :
dq (t 1 ) = dq (t 2 ) = 0. La variation d’action entre deux trajectoires voisines est donnée par :
dS =
t2
t1
L
q + dq,
.
q +d
.
q , t
dt −
t2
t1
L
q,
.
q , t
dt
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