10.1 Systèmes hamiltoniens
357
et en régime relativiste par :
H = mc
2
g + ef = mc
2
1 +
p−eA
mc
2
+ ef
Afin d’établir le système d’équations dynamiques déterminant l’orbite d’un système
dans l’espace des phases hamiltonien, considérons les variations infinitésimales du
lagrangien et du hamiltonien.
d L =
∂ L
∂q
·dq +
∂ L
∂
.
q
·d
.
q +
∂ L
∂t
dt,
d H =
∂ H
∂q
·dq +
∂ H
∂p
·dp +
∂ H
∂t
dt
Compte tenu de la définition du moment conjugué et des équations de Lagrange cette
variation infinitésimale peut s’exprimer comme :
d L =
.
p ·dq + p·d
.
q +∂ L/∂tdt.
L’identité :
p·d
.
q = d
p·
.
q
−
.
q ·dp
permet alors d’exprimer une variation infinitésimale du hamiltonien.
d L − d
p·
.
q
= −d H =
.
p ·dq−
.
q ·dp +
∂ L
∂t
dt
L’identification terme à terme de cette dernière identité avec l’accroissement infinitésimal du hamiltonien en fonction des variables indépendantes p et q débouche sur
la formulation des équations de Hamilton.
dp
dt
= −
∂ H
∂q
,
dq
dt
=
∂ H
∂p
,
∂ H
∂t
= −
∂ L
∂t
(10.8)
Les résultats précédents pourraient laisser croire que les formalismes lagrangien et
hamiltonien ne sont que des changements de variables sans intérêt majeur pour la
résolution et la compréhension des problèmes de mécanique. Ce n’est pas le cas,
comme nous allons le voir dans la suite de ce chapitre : le formalisme hamiltonien
permet d’opérer un changement de point de vue radical sur la formulation des problèmes de mécanique. Cette nouveauté radicale s’articule autour des concepts d’intégrale d’action et de principe variationnel, et permet de construire tout un ensemble
de méthodes permettant de résoudre des problèmes complexes ou de mettre en place
des schémas perturbatifs spécifiques et efficaces sans égal dans le cadre newtonien.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
357
et en régime relativiste par :
H = mc
2
g + ef = mc
2
1 +
p−eA
mc
2
+ ef
Afin d’établir le système d’équations dynamiques déterminant l’orbite d’un système
dans l’espace des phases hamiltonien, considérons les variations infinitésimales du
lagrangien et du hamiltonien.
d L =
∂ L
∂q
·dq +
∂ L
∂
.
q
·d
.
q +
∂ L
∂t
dt,
d H =
∂ H
∂q
·dq +
∂ H
∂p
·dp +
∂ H
∂t
dt
Compte tenu de la définition du moment conjugué et des équations de Lagrange cette
variation infinitésimale peut s’exprimer comme :
d L =
.
p ·dq + p·d
.
q +∂ L/∂tdt.
L’identité :
p·d
.
q = d
p·
.
q
−
.
q ·dp
permet alors d’exprimer une variation infinitésimale du hamiltonien.
d L − d
p·
.
q
= −d H =
.
p ·dq−
.
q ·dp +
∂ L
∂t
dt
L’identification terme à terme de cette dernière identité avec l’accroissement infinitésimal du hamiltonien en fonction des variables indépendantes p et q débouche sur
la formulation des équations de Hamilton.
dp
dt
= −
∂ H
∂q
,
dq
dt
=
∂ H
∂p
,
∂ H
∂t
= −
∂ L
∂t
(10.8)
Les résultats précédents pourraient laisser croire que les formalismes lagrangien et
hamiltonien ne sont que des changements de variables sans intérêt majeur pour la
résolution et la compréhension des problèmes de mécanique. Ce n’est pas le cas,
comme nous allons le voir dans la suite de ce chapitre : le formalisme hamiltonien
permet d’opérer un changement de point de vue radical sur la formulation des problèmes de mécanique. Cette nouveauté radicale s’articule autour des concepts d’intégrale d’action et de principe variationnel, et permet de construire tout un ensemble
de méthodes permettant de résoudre des problèmes complexes ou de mettre en place
des schémas perturbatifs spécifiques et efficaces sans égal dans le cadre newtonien.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit