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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Le premier terme du membre de droite de cette définition représente l’énergie cinétique, le deuxième l’énergie d’interaction magnétique et le troisième l’énergie d’interaction électrique.
Le moment p canoniquement conjugué à la coordonnée généralisée q est défini
comme la dérivée de L par rapport à la vitesse généralisée.
p ≡
∂ L
∂
.
q
= m
.
q +eA (q, t)
(10.4)
La formule d’analyse vectorielle :
∇ (U·V) = U × (∇ × V) + V × (∇ × U) + (U·∇) V + (V·∇) U
permet d’exprimer la dérivée du lagrangien par rapport aux coordonnées généralisées : ∂ L/∂q = e
.
q × (∇ × A) + edA/dt − e∂A/∂t−e∇f. Si nous comparons les deux expressions ∂ L/∂q et ∂ L/∂
.
q = m
.
q +eA nous remarquons que
nous obtenons les équations de Newton avec les forces de Laplace et Coulomb en
identifiant d
∂ L/∂
.
q
/dt et ∂ L/∂q. Cette identification constitue les équations
d’Euler-Lagrange qui sont donc complètements équivalentes aux équations de Newton et déterminent la dynamique du système de façon unique pour un ensemble de
conditions initiales données.
d
dt
∂ L
∂
.
q
=
∂ L
∂q
(10.5)
La définition du moment généralisé canoniquement conjugué à la position constitue
le point de départ d’une troisième formulation des lois de la mécanique, le formalisme hamiltonien. En mécanique hamiltonienne la dynamique d’une particule, et par
extension d’un système de particules, est entièrement décrite par l’évolution temporelle des coordonnées généralisées q (t) et de leurs moments canoniquement conjugués p (t) en fonction du temps. Ces deux variables sont indépendantes et l’évolution
dynamique engendre une orbite dans l’espace [p, q] appelé espace des phases.
Le hamiltonien H est défini comme une fonction scalaire dans cet espace des phases.
H (p, q, t) ≡ p·
.
q −L
(10.6)
D’un point de vue technique, hamiltonien et lagrangien sont reliés par une transformation de Legendre. Le hamiltonien d’une particule chargée, en régime classique,
est donc donné par :
H =
m
2
.
q
2 +ef =
[p−eA]
2
2m
+ ef
(10.7)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Le premier terme du membre de droite de cette définition représente l’énergie cinétique, le deuxième l’énergie d’interaction magnétique et le troisième l’énergie d’interaction électrique.
Le moment p canoniquement conjugué à la coordonnée généralisée q est défini
comme la dérivée de L par rapport à la vitesse généralisée.
p ≡
∂ L
∂
.
q
= m
.
q +eA (q, t)
(10.4)
La formule d’analyse vectorielle :
∇ (U·V) = U × (∇ × V) + V × (∇ × U) + (U·∇) V + (V·∇) U
permet d’exprimer la dérivée du lagrangien par rapport aux coordonnées généralisées : ∂ L/∂q = e
.
q × (∇ × A) + edA/dt − e∂A/∂t−e∇f. Si nous comparons les deux expressions ∂ L/∂q et ∂ L/∂
.
q = m
.
q +eA nous remarquons que
nous obtenons les équations de Newton avec les forces de Laplace et Coulomb en
identifiant d
∂ L/∂
.
q
/dt et ∂ L/∂q. Cette identification constitue les équations
d’Euler-Lagrange qui sont donc complètements équivalentes aux équations de Newton et déterminent la dynamique du système de façon unique pour un ensemble de
conditions initiales données.
d
dt
∂ L
∂
.
q
=
∂ L
∂q
(10.5)
La définition du moment généralisé canoniquement conjugué à la position constitue
le point de départ d’une troisième formulation des lois de la mécanique, le formalisme hamiltonien. En mécanique hamiltonienne la dynamique d’une particule, et par
extension d’un système de particules, est entièrement décrite par l’évolution temporelle des coordonnées généralisées q (t) et de leurs moments canoniquement conjugués p (t) en fonction du temps. Ces deux variables sont indépendantes et l’évolution
dynamique engendre une orbite dans l’espace [p, q] appelé espace des phases.
Le hamiltonien H est défini comme une fonction scalaire dans cet espace des phases.
H (p, q, t) ≡ p·
.
q −L
(10.6)
D’un point de vue technique, hamiltonien et lagrangien sont reliés par une transformation de Legendre. Le hamiltonien d’une particule chargée, en régime classique,
est donc donné par :
H =
m
2
.
q
2 +ef =
[p−eA]
2
2m
+ ef
(10.7)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit