10.1 Systèmes hamiltoniens
355
système d’équations différentielles du premier ordre par rapport au temps et l’unicité
de la solution est assurée par la donnée d’une position initiale et d’une vitesse
initiale : vitesse et position doivent donc être considérées comme des variables
indépendantes.
dr
dt
= v,
dv
dt
= −
e
m
∇f −
e
m
∂A
∂t
+
e
m
v × (∇ × A)
(10.1)
Les deux premiers termes du membre de droite décrivent la force de Coulomb, le
dernier celle de Laplace ; la somme de ces deux termes électrique et magnétique
porte le nom de force de Lorentz.
Ces équations sont non-linéaires, au sens où la superposition linéaire de deux solutions ne constitue pas une solution. La généralisation relativiste, au cas où la vitesse
de la particule devient de l’ordre de grandeur de la vitesse de la lumière c, est obtenue en introduisant le paramètre g = 1/
1 − v 2 /c 2 mesurant le rapport de l’énergie
p 2 c 2 + m 2 c 4 sur l’énergie au repos mc
2 , où p = mvg. La relation entre vitesse et
position n’est pas modifiée, la vitesse d’une particule reste définie comme la dérivée
temporelle de sa position, mais la relation entre accélération et force est modifiée,
la dérivée de gv est égale au rapport de la force sur la masse. Il est aisé de vérifier que lorsque la vitesse est petite devant la vitesse de la lumière cette relation est
équivalente à la relation newtonienne classique décrite par les équations (10.1).
dr
dt
= v,
d (gv)
dt
= −
e
m
∇f −
e
m
∂A
∂t
+
e
m
v × (∇ × A)
(10.2)
La théorie des équations différentielles ordinaires, à travers les théorèmes d’existence
et d’unicité des solutions des équations différentielles ordinaires, garantit l’existence
d’une solution unique lorsque les conditions initiales de vitesse et position sont données.
Que ce soit en régime classique, ou en régime relativiste, comme nous l’avons rappelé dans l’introduction, la construction des formalismes lagrangien et hamiltonien
n’est pas la conséquence d’une difficulté technique associée aux équations de Newton mais tire son origine de la vision énergétique de la mécanique développée par
Leibnitz. Ces deux méthodes, lagrangienne et hamiltonienne, sont construites, non
pas sur le concept de force, mais à partir des concepts d’énergie cinétique et d’énergie potentielle d’interaction. Dans le cadre de la mécanique lagrangienne, l’usage est
d’introduire les coordonnées lagrangiennes généralisées q et
.
q qui pour une particule
unique se réduisent à la position et à la vitesse : q = r,
.
q = v. À basse vitesse, en
présence d’un champ électrique et d’un champ magnétique dérivant respectivement
d’un potentiel scalaire f et d’un potentiel vecteur A, le lagrangien classique L est
alors défini par :
L
q,
.
q , t
≡
m
2
.
q
2 +e
.
q ·A (q, t) − ef (q, t)
(10.3)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
355
système d’équations différentielles du premier ordre par rapport au temps et l’unicité
de la solution est assurée par la donnée d’une position initiale et d’une vitesse
initiale : vitesse et position doivent donc être considérées comme des variables
indépendantes.
dr
dt
= v,
dv
dt
= −
e
m
∇f −
e
m
∂A
∂t
+
e
m
v × (∇ × A)
(10.1)
Les deux premiers termes du membre de droite décrivent la force de Coulomb, le
dernier celle de Laplace ; la somme de ces deux termes électrique et magnétique
porte le nom de force de Lorentz.
Ces équations sont non-linéaires, au sens où la superposition linéaire de deux solutions ne constitue pas une solution. La généralisation relativiste, au cas où la vitesse
de la particule devient de l’ordre de grandeur de la vitesse de la lumière c, est obtenue en introduisant le paramètre g = 1/
1 − v 2 /c 2 mesurant le rapport de l’énergie
p 2 c 2 + m 2 c 4 sur l’énergie au repos mc
2 , où p = mvg. La relation entre vitesse et
position n’est pas modifiée, la vitesse d’une particule reste définie comme la dérivée
temporelle de sa position, mais la relation entre accélération et force est modifiée,
la dérivée de gv est égale au rapport de la force sur la masse. Il est aisé de vérifier que lorsque la vitesse est petite devant la vitesse de la lumière cette relation est
équivalente à la relation newtonienne classique décrite par les équations (10.1).
dr
dt
= v,
d (gv)
dt
= −
e
m
∇f −
e
m
∂A
∂t
+
e
m
v × (∇ × A)
(10.2)
La théorie des équations différentielles ordinaires, à travers les théorèmes d’existence
et d’unicité des solutions des équations différentielles ordinaires, garantit l’existence
d’une solution unique lorsque les conditions initiales de vitesse et position sont données.
Que ce soit en régime classique, ou en régime relativiste, comme nous l’avons rappelé dans l’introduction, la construction des formalismes lagrangien et hamiltonien
n’est pas la conséquence d’une difficulté technique associée aux équations de Newton mais tire son origine de la vision énergétique de la mécanique développée par
Leibnitz. Ces deux méthodes, lagrangienne et hamiltonienne, sont construites, non
pas sur le concept de force, mais à partir des concepts d’énergie cinétique et d’énergie potentielle d’interaction. Dans le cadre de la mécanique lagrangienne, l’usage est
d’introduire les coordonnées lagrangiennes généralisées q et
.
q qui pour une particule
unique se réduisent à la position et à la vitesse : q = r,
.
q = v. À basse vitesse, en
présence d’un champ électrique et d’un champ magnétique dérivant respectivement
d’un potentiel scalaire f et d’un potentiel vecteur A, le lagrangien classique L est
alors défini par :
L
q,
.
q , t
≡
m
2
.
q
2 +e
.
q ·A (q, t) − ef (q, t)
(10.3)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit