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10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Dans ce chapitre nous présenterons les variables de configuration d’une description
lagrangienne ainsi que les variables canoniques associées à une description hamiltonienne ; puis, nous établirons les équations d’Euler-Lagrange auxquelles obéissent
ces variables lagrangiennes de configuration. Ensuite, sur la base de ce formalisme
lagrangien, nous définirons les variables hamiltoniennes et nous établirons les équations de Hamilton. Le développement des formalismes lagrangien et hamiltonien
peut être mené, soit à partir du principe variationnel de moindre action, soit à partir des équations de Newton. C’est cette deuxième approche qui est utilisée ici ; les
principes variationnels sont introduits ultérieurement.
Le formalisme newtonien constitue la formulation la plus répandue des lois de la
mécanique. Ce formalisme s’articule autour du concept de force (et de couple) :
l’accélération d’une particule est égale à la somme des forces appliquées divisée
par sa masse. Ce formalisme vectoriel fut développé par Newton à la même époque
que le formalisme énergétique introduit par Leibnitz qui identifia la vis viva, égal
(à un facteur deux près) à l’énergie cinétique. Ces deux traditions, newtonienne et
leibnitzienne, sont à l’origine des différentes formulations des lois de la mécanique.
Le formalisme newtonien, construit sur la base du concept de force, est particulièrement bien adapté au développement d’une intuition mécanique. Il est donc généralement utilisé pour introduire les bases de la dynamique. Les formalismes lagrangien
et hamiltonien, issus de la tradition leibnitzienne, sont en général considérés comme
des chapitres de mécanique avancée et permettent de traiter des problèmes complexes
où le cadre newtonien est inadapté.
Une formulation lagrangienne est bien adaptée aux problèmes où certains degrés de
liberté sont contraints, ainsi qu’aux systèmes possédant des symétries. La formulation hamiltonienne est, quant à elle, particulièrement bien adaptée à l’étude des mouvements possédant des échelles de temps rapides et lentes tels que les mouvements
multiplement périodiques. Ce formalisme permet aussi la construction d’une théorie de perturbations remarquablement efficace. L’étude de la transition vers le chaos
dans les systèmes multiplement périodiques nécessite aussi un formalisme hamiltonien et la description du régime chaotique des systèmes mécaniques conservatifs se
formule aussi en termes de variables hamiltoniennes. Enfin, le formalisme hamiltonien permet de considérer la dynamique d’un système, soit comme un problème
aux conditions initiales à l’aide des équations de Hamilton, soit comme un problème
de type conditions aux limites à travers l’équation de Hamilton-Jacobi, renouvelant
ainsi radicalement notre vision de la dynamique des systèmes de particules.
Afin de construire ces deux nouvelles méthodes, lagrangienne et hamiltonienne,
considérons d’abord la description newtonienne de la dynamique d’une particule chargée, de charge e et de masse m, plongée dans un champ électrique
E = −∇f − ∂A/∂t et un champ magnétique B = ∇ × A où A (r, t) et f (r, t)
représentent le potentiel vecteur et le potentiel scalaire décrivant ces champs électrique et magnétique. La vitesse v et la position r de cette particule obéissent à un
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
10 • Adiabaticité, résonances et chaos
Dans ce chapitre nous présenterons les variables de configuration d’une description
lagrangienne ainsi que les variables canoniques associées à une description hamiltonienne ; puis, nous établirons les équations d’Euler-Lagrange auxquelles obéissent
ces variables lagrangiennes de configuration. Ensuite, sur la base de ce formalisme
lagrangien, nous définirons les variables hamiltoniennes et nous établirons les équations de Hamilton. Le développement des formalismes lagrangien et hamiltonien
peut être mené, soit à partir du principe variationnel de moindre action, soit à partir des équations de Newton. C’est cette deuxième approche qui est utilisée ici ; les
principes variationnels sont introduits ultérieurement.
Le formalisme newtonien constitue la formulation la plus répandue des lois de la
mécanique. Ce formalisme s’articule autour du concept de force (et de couple) :
l’accélération d’une particule est égale à la somme des forces appliquées divisée
par sa masse. Ce formalisme vectoriel fut développé par Newton à la même époque
que le formalisme énergétique introduit par Leibnitz qui identifia la vis viva, égal
(à un facteur deux près) à l’énergie cinétique. Ces deux traditions, newtonienne et
leibnitzienne, sont à l’origine des différentes formulations des lois de la mécanique.
Le formalisme newtonien, construit sur la base du concept de force, est particulièrement bien adapté au développement d’une intuition mécanique. Il est donc généralement utilisé pour introduire les bases de la dynamique. Les formalismes lagrangien
et hamiltonien, issus de la tradition leibnitzienne, sont en général considérés comme
des chapitres de mécanique avancée et permettent de traiter des problèmes complexes
où le cadre newtonien est inadapté.
Une formulation lagrangienne est bien adaptée aux problèmes où certains degrés de
liberté sont contraints, ainsi qu’aux systèmes possédant des symétries. La formulation hamiltonienne est, quant à elle, particulièrement bien adaptée à l’étude des mouvements possédant des échelles de temps rapides et lentes tels que les mouvements
multiplement périodiques. Ce formalisme permet aussi la construction d’une théorie de perturbations remarquablement efficace. L’étude de la transition vers le chaos
dans les systèmes multiplement périodiques nécessite aussi un formalisme hamiltonien et la description du régime chaotique des systèmes mécaniques conservatifs se
formule aussi en termes de variables hamiltoniennes. Enfin, le formalisme hamiltonien permet de considérer la dynamique d’un système, soit comme un problème
aux conditions initiales à l’aide des équations de Hamilton, soit comme un problème
de type conditions aux limites à travers l’équation de Hamilton-Jacobi, renouvelant
ainsi radicalement notre vision de la dynamique des systèmes de particules.
Afin de construire ces deux nouvelles méthodes, lagrangienne et hamiltonienne,
considérons d’abord la description newtonienne de la dynamique d’une particule chargée, de charge e et de masse m, plongée dans un champ électrique
E = −∇f − ∂A/∂t et un champ magnétique B = ∇ × A où A (r, t) et f (r, t)
représentent le potentiel vecteur et le potentiel scalaire décrivant ces champs électrique et magnétique. La vitesse v et la position r de cette particule obéissent à un
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit