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9 • Collisions, relaxation et transport
Le résultat final est identique au coefficient de diffusion perpendiculaire au lignes de
champ identifié lors de l’étude des modèles fluides magnétisés (6.15).
D ⊥ =
dR ⊥ ·dR ⊥
4dt
=
V
2
c
2
n 1
n 2
1 + v 2
c
(9.49)
L’accord entre un modèle fluide (6.15) et un modèle cinétique (9.49) constitue,
comme dans le cas de l’accord entre la MHD et la théorie des orbites, une garantie
quant à la rigueur des méthodes d’élaboration des résultats à partir des hypothèses
de départ ; mais, la confrontation avec l’expérience s’effectue en premier lieu au
niveau des hypothèses sous tendant ces modèles. Ainsi, pour le cas de la diffusion
dans un champ magnétique, les résultats (6.15) et (9.49) sont souvent infirmés par
l’expérience et l’origine de ce désaccord se situe au niveau de l’hypothèse d’une
dynamique collisionnelle. En effet, il n’est pas rare, dans les plasmas magnétisés
chauds, que les champs électriques turbulents soit la source dominante du transport
de matière. Nous allons donc construire un nouveau modèle pour établir l’expression
du coefficient de diffusion en présence d’un champ électrique turbulent E ⊥ (t).
Soit une particule chargée, de masse m et de charge q, plongée dans un champ
magnétique statique uniforme B =Bb où b est un vecteur unitaire. En présence
de fluctuations électrostatiques basse fréquence E ⊥ (t), entretenues par une activité
turbulente d’origine non précisée, le mouvement du centre guide de la particule R ⊥
est décrit par la dérive de champs croisés (5.13).
dR ⊥
dt
=
E ⊥ (t) × b
B
→ dR ⊥ (t) =
t
0
E ⊥ (t ) × b
B
dt
La dérivée temporelle de l’écart quadratique de position au bout d’un temps t est
donc donnée par :
d
dt
[dR ⊥ (t)dR ⊥ (t)] = 2
t
0
E ⊥ (t) × b
B
E ⊥ (t ) × b
B
dt
Introduisons le temps t = t − t
afin de faire apparaître la fonction d’auto-corrélation
du champ électrique :
d
dt
dR ⊥ (t)·dR ⊥ (t) =
2
B 2
t
0
E ⊥ (t)·E ⊥ (t − t) dt
La moyenne étant prise ici sur les différentes réalisations du champ turbulent. D’une
part, la fonction de corrélation du champ entre deux instants
E ⊥ (t)·E ⊥ (t
)
ne
peut dépendre que de la durée t = t − t
entre ces deux instants ; d’autre part, il
existe un intervalle de temps mésoscopique, grand à l’échelle microscopique et petit
à l’échelle macroscopique, tel que la fonction de corrélation s’annule au delà de
cette échelle mésoscopique. Ainsi, cet ordering fort entre échelle hydrodynamique et
échelle cinétique, conjugué avec la décroissance rapide des corrélations temporelles,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
Le résultat final est identique au coefficient de diffusion perpendiculaire au lignes de
champ identifié lors de l’étude des modèles fluides magnétisés (6.15).
D ⊥ =
dR ⊥ ·dR ⊥
4dt
=
V
2
c
2
n 1
n 2
1 + v 2
c
(9.49)
L’accord entre un modèle fluide (6.15) et un modèle cinétique (9.49) constitue,
comme dans le cas de l’accord entre la MHD et la théorie des orbites, une garantie
quant à la rigueur des méthodes d’élaboration des résultats à partir des hypothèses
de départ ; mais, la confrontation avec l’expérience s’effectue en premier lieu au
niveau des hypothèses sous tendant ces modèles. Ainsi, pour le cas de la diffusion
dans un champ magnétique, les résultats (6.15) et (9.49) sont souvent infirmés par
l’expérience et l’origine de ce désaccord se situe au niveau de l’hypothèse d’une
dynamique collisionnelle. En effet, il n’est pas rare, dans les plasmas magnétisés
chauds, que les champs électriques turbulents soit la source dominante du transport
de matière. Nous allons donc construire un nouveau modèle pour établir l’expression
du coefficient de diffusion en présence d’un champ électrique turbulent E ⊥ (t).
Soit une particule chargée, de masse m et de charge q, plongée dans un champ
magnétique statique uniforme B =Bb où b est un vecteur unitaire. En présence
de fluctuations électrostatiques basse fréquence E ⊥ (t), entretenues par une activité
turbulente d’origine non précisée, le mouvement du centre guide de la particule R ⊥
est décrit par la dérive de champs croisés (5.13).
dR ⊥
dt
=
E ⊥ (t) × b
B
→ dR ⊥ (t) =
t
0
E ⊥ (t ) × b
B
dt
La dérivée temporelle de l’écart quadratique de position au bout d’un temps t est
donc donnée par :
d
dt
[dR ⊥ (t)dR ⊥ (t)] = 2
t
0
E ⊥ (t) × b
B
E ⊥ (t ) × b
B
dt
Introduisons le temps t = t − t
afin de faire apparaître la fonction d’auto-corrélation
du champ électrique :
d
dt
dR ⊥ (t)·dR ⊥ (t) =
2
B 2
t
0
E ⊥ (t)·E ⊥ (t − t) dt
La moyenne étant prise ici sur les différentes réalisations du champ turbulent. D’une
part, la fonction de corrélation du champ entre deux instants
E ⊥ (t)·E ⊥ (t
)
ne
peut dépendre que de la durée t = t − t
entre ces deux instants ; d’autre part, il
existe un intervalle de temps mésoscopique, grand à l’échelle microscopique et petit
à l’échelle macroscopique, tel que la fonction de corrélation s’annule au delà de
cette échelle mésoscopique. Ainsi, cet ordering fort entre échelle hydrodynamique et
échelle cinétique, conjugué avec la décroissance rapide des corrélations temporelles,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit