9.4 Fluctuations et turbulence
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et t en l’absence de collision ; on suppose que la particule chargée vient juste de
subir une collision à l’instant t 0 et possède, après cette collision, la vitesse V c (t 0 ).
En l’absence de collision, la vitesse à un instant ultérieur t est donc donnée par :
V c (t) = V c (t 0 ) + dV c .
dV c = V c (cos v c t − cos v c t 0 ) e x − V c (sin v c t − sin v c t 0 ) e y
= −2V c sin
v c
t + t 0
2
sin
v c
t − t 0
2
e x
−2V c cos
v c
t + t 0
2
sin
v c
t − t 0
2
e y
Introduisons t = t − t 0 la durée du libre parcours qui est ici une libre rotation (sur
la figure 9.18 nous avons ajouté une dérive suivant l’axes des y pour la clarté du
schéma représentant la rotation cyclotronique, cette dérive n’est pas prise en compte
dans ce modèle, elle n’apporterait d’ailleurs aucune modification au résultat final)
et exprimons le carré de l’incrément de vitesse cyclotronique et de l’incrément de
position du centre guide à l’issue d’une libre rotation de durée t.
dV c ·dV c = 4V
2
c sin
2
v c
t
2
→
dR ⊥ ·dR ⊥
4
=
V
2
c
v 2
c
sin
2
v c
t
2
t
x
t 0
Vc
ωc
δRx
τ
+
x
Collision
Collision
Rotation
Rotation
y
Figure 9.18 Diffusion perpendiculaire aux lignes de champ résultant des collisions.
Le résultat ainsi obtenu est fonction uniquement de la variable aléatoire t et cette
variable est distribuée suivant la loi d P/dt (9.48), il est donc nécessaire de moyenner
le résultat précédent sur t pour exprimer le coefficient de diffusion.
dR ⊥ ·dR ⊥
4dt
=
V
2
c
v 2
c
+∞
0
exp (−n 1 t) sin
2
v c
t
2
dt
+∞
0
t exp (−n 1 t) dt
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