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9 • Collisions, relaxation et transport
9.4.2 Collisions et turbulence
L’ensemble des coefficients de transport décrivant les processus de relaxation des
gradients dans un plasma magnétisé est usuellement référencé comme l’ensemble des
coefficients de Braginski. Nous allons étudier, plus spécifiquement, le coefficient de
diffusion du centre guide R ⊥ (5.5) des orbites cyclotroniques. La construction des
autres coefficients de Braginski suit les mêmes lignes que l’étude du transport de
matière présentée ici. L’équation de diffusion des particules en champ magnétique
est de la forme :
∂n
∂t
=
∂
∂R ⊥
·
dR ⊥ dR ⊥
2dt
·
∂n
∂R ⊥
où n est la densité de particules. Compte tenu de l’isotropie autour des lignes de
champ, le coefficient de diffusion D ⊥ est défini par : D ⊥ = dR ⊥ ·dR ⊥ /4dt. Soit
une particule chargée, de masse m et de charge q, plongée dans un champ magnétique statique uniforme B =Bb. L’écriture de l’équation du mouvement de cette particule se réduit à la prise en compte : (i) de la force de Laplace et (ii) des transferts
d’impulsion mdv n induits par les collisions avec les neutres ou les autres particules
chargées.
m
dV
dt
= qV × B +
n
md (t − t n ) dv n
où t n sont les instants de collisions. Entre deux collisions : V = V c + V b (5.2)
où V c = V c cos [v c t] e x − V c sin [v c t] e y = v c r L ×b est la vitesse cyclotronique et
v c = q B/m la fréquence cyclotron (5.4),
e x , e y , b
est un repère cartésien orthonormé direct. La probabilité que la particule ne subisse aucune collision durant un
temps t puis subisse une collision à l’issue de ce temps t durant l’intervalle dt est
donnée par (2.2) :
d P (t)
dt
= n 1 exp (−n 1 t)
(9.48)
où n 1 (v) est la fréquence de transfert d’impulsion (4.12). À l’issue d’une collision,
non seulement une variation de la vitesse cyclotronique est observée, mais aussi
un changement de position du centre guide dR ⊥ . En effet, dans un champ magnétique, statique et homogène, la position r d’une particule peut être décomposée en
la somme de la position du centre guide R ⊥ plus la position du rayon de Larmor
tournant r L = b × V c /v c : r = R ⊥ + r L (5.5). Lors d’une collision la variation de
la position instantanée de la particule est nulle dr = 0, il en résulte un couplage entre
la variation de vitesse dV c et la variation de la position du centre guide dR ⊥ .
R ⊥ = r − r L = r+
V c × b
v c
→ dR ⊥ =
dV c × b
v c
→ dR ⊥ ·dR ⊥ =
dV c ·dV c
v 2
c
Le couplage entre la position du centre guide et la vitesse est une conséquence de
l’existence d’un invariant associé au moment canonique mv + qA (10.4). Afin de
calculer le coefficient dV c ·dV c considérons la dynamique entre les instants t 0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
9.4.2 Collisions et turbulence
L’ensemble des coefficients de transport décrivant les processus de relaxation des
gradients dans un plasma magnétisé est usuellement référencé comme l’ensemble des
coefficients de Braginski. Nous allons étudier, plus spécifiquement, le coefficient de
diffusion du centre guide R ⊥ (5.5) des orbites cyclotroniques. La construction des
autres coefficients de Braginski suit les mêmes lignes que l’étude du transport de
matière présentée ici. L’équation de diffusion des particules en champ magnétique
est de la forme :
∂n
∂t
=
∂
∂R ⊥
·
dR ⊥ dR ⊥
2dt
·
∂n
∂R ⊥
où n est la densité de particules. Compte tenu de l’isotropie autour des lignes de
champ, le coefficient de diffusion D ⊥ est défini par : D ⊥ = dR ⊥ ·dR ⊥ /4dt. Soit
une particule chargée, de masse m et de charge q, plongée dans un champ magnétique statique uniforme B =Bb. L’écriture de l’équation du mouvement de cette particule se réduit à la prise en compte : (i) de la force de Laplace et (ii) des transferts
d’impulsion mdv n induits par les collisions avec les neutres ou les autres particules
chargées.
m
dV
dt
= qV × B +
n
md (t − t n ) dv n
où t n sont les instants de collisions. Entre deux collisions : V = V c + V b (5.2)
où V c = V c cos [v c t] e x − V c sin [v c t] e y = v c r L ×b est la vitesse cyclotronique et
v c = q B/m la fréquence cyclotron (5.4),
e x , e y , b
est un repère cartésien orthonormé direct. La probabilité que la particule ne subisse aucune collision durant un
temps t puis subisse une collision à l’issue de ce temps t durant l’intervalle dt est
donnée par (2.2) :
d P (t)
dt
= n 1 exp (−n 1 t)
(9.48)
où n 1 (v) est la fréquence de transfert d’impulsion (4.12). À l’issue d’une collision,
non seulement une variation de la vitesse cyclotronique est observée, mais aussi
un changement de position du centre guide dR ⊥ . En effet, dans un champ magnétique, statique et homogène, la position r d’une particule peut être décomposée en
la somme de la position du centre guide R ⊥ plus la position du rayon de Larmor
tournant r L = b × V c /v c : r = R ⊥ + r L (5.5). Lors d’une collision la variation de
la position instantanée de la particule est nulle dr = 0, il en résulte un couplage entre
la variation de vitesse dV c et la variation de la position du centre guide dR ⊥ .
R ⊥ = r − r L = r+
V c × b
v c
→ dR ⊥ =
dV c × b
v c
→ dR ⊥ ·dR ⊥ =
dV c ·dV c
v 2
c
Le couplage entre la position du centre guide et la vitesse est une conséquence de
l’existence d’un invariant associé au moment canonique mv + qA (10.4). Afin de
calculer le coefficient dV c ·dV c considérons la dynamique entre les instants t 0
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit