9.4 Fluctuations et turbulence
347
par sommation de la vitesse :
dr(dt) =
dt
0
v(t
)dt
En l’absence de champ de force macroscopique le coefficient de friction dr /dt est
nul car v(t) = 0 et le coefficient de diffusion drdr /2dt s’exprime à l’aide de la
fonction de corrélation des vitesses. En effet, le produit :
ddr(dt)
ddt
dr(dt) =
dt
0
v(dt)v(t
)dt
se présente sous la forme de la dérivée temporelle de l’écart quadratique de la position au bout d’un temps dt : d [dr(dt)dr(dt)] /ddt = 2
dt
0
v(dt)v(t
)dt
. Introduisons le temps t = dt −t
:
dt
0
v(dt)v(t
)dt
=
dt
0
v(dt)v(dt −t)dt. La fonction de
corrélation des vitesses entre deux instants ne peut dépendre que de la durée t entre
ces deux instants, cette propriété d’invariance par translation dans le temps permet
d’établir la relation :
d
ddt
dr(dt)dr(dt) = 2
dt
0
v(0)v(t) dt
Les moyennes devant être prises sur la statistique des vitesses. Le cas isotrope est
obtenu en sommant les trois composantes cartésiennes du carré du déplacement.
L’expression du coefficient de diffusion D s’établit finalement en considérant que
le temps dt, qui figure au dénominateur de l’expression D = dr(dt)·dr(dt) /6dt,
est très grand à l’échelle microscopique et très petit à l’échelle macroscopique, c’est
donc l’échelle mésoscopique qui doit être encore considérée ici ; l’ordering fort entre
échelle hydrodynamique et échelle cinétique permet donc de faire tendre dt → +∞
dans l’expression du coefficient de diffusion pour obtenir finalement la relation de
Green-Kubo.
D =
dr(dt)·dr(dt)
6dt
=
1
3
+∞
0
v(t)·v(0) dt
(9.47)
Notons que la relation d’Einstein (6.11) et la relation de Green-Kubo (9.47) permettent d’exprimer la mobilité m en fonction de la corrélation des vitesses. Nous
obtenons ainsi un cas particulier du théorème fluctuation-dissipation entre la dissipation Ohmique et les fluctuations de la vitesse. Considérons, maintenant, ce problème
de la diffusion en présence d’un champ magnétique statique homogène.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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par sommation de la vitesse :
dr(dt) =
dt
0
v(t
)dt
En l’absence de champ de force macroscopique le coefficient de friction dr /dt est
nul car v(t) = 0 et le coefficient de diffusion drdr /2dt s’exprime à l’aide de la
fonction de corrélation des vitesses. En effet, le produit :
ddr(dt)
ddt
dr(dt) =
dt
0
v(dt)v(t
)dt
se présente sous la forme de la dérivée temporelle de l’écart quadratique de la position au bout d’un temps dt : d [dr(dt)dr(dt)] /ddt = 2
dt
0
v(dt)v(t
)dt
. Introduisons le temps t = dt −t
:
dt
0
v(dt)v(t
)dt
=
dt
0
v(dt)v(dt −t)dt. La fonction de
corrélation des vitesses entre deux instants ne peut dépendre que de la durée t entre
ces deux instants, cette propriété d’invariance par translation dans le temps permet
d’établir la relation :
d
ddt
dr(dt)dr(dt) = 2
dt
0
v(0)v(t) dt
Les moyennes devant être prises sur la statistique des vitesses. Le cas isotrope est
obtenu en sommant les trois composantes cartésiennes du carré du déplacement.
L’expression du coefficient de diffusion D s’établit finalement en considérant que
le temps dt, qui figure au dénominateur de l’expression D = dr(dt)·dr(dt) /6dt,
est très grand à l’échelle microscopique et très petit à l’échelle macroscopique, c’est
donc l’échelle mésoscopique qui doit être encore considérée ici ; l’ordering fort entre
échelle hydrodynamique et échelle cinétique permet donc de faire tendre dt → +∞
dans l’expression du coefficient de diffusion pour obtenir finalement la relation de
Green-Kubo.
D =
dr(dt)·dr(dt)
6dt
=
1
3
+∞
0
v(t)·v(0) dt
(9.47)
Notons que la relation d’Einstein (6.11) et la relation de Green-Kubo (9.47) permettent d’exprimer la mobilité m en fonction de la corrélation des vitesses. Nous
obtenons ainsi un cas particulier du théorème fluctuation-dissipation entre la dissipation Ohmique et les fluctuations de la vitesse. Considérons, maintenant, ce problème
de la diffusion en présence d’un champ magnétique statique homogène.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit