9.4 Processus cinétiques
345
Cet électron interagit avec les électrons du plasma décrit par la distribution f e (p 1 ) et
les ions décrit par la distribution f i (p 2 ) ; ces deux distributions sont statiques.
f e (p 1 ) = n e
d ( p 1 )
4p p 2
1
,
f i (p 2 ) = n i
d ( p 2 )
4p p 2
2
(9.43)
Dans ce modèle de cible, nous avons négligé l’élargissement des fonctions de distribution f e et f i (élargissement décrivant la température finie du plasma) car l’ordering des vitesses des électrons, ions et électrons rapides s’établi comme suit :
p
2
m e kT e et p
2
m i kT i . Le temps caractéristique de ralentissement et de diffusion pour les électrons relativiste est défini par : t e = 4p´
2
0 m
2
e c
3
/e
4 n e L ; f r (p, t)
obéit à une équation de Landau du type (9.20) :
∂ f r
∂t
= −
∂
∂p
·
dp
dt
f r +
∂
∂p
·
∂
∂p
·
dpdp
2dt
f r
Mais, les expressions des coefficients de friction dp /dt et de diffusion
dpdp /2dt doivent être étendues au cas du régime relativiste. Pour ce faire,
les intégrales du type (4.14) doivent être calculées à partir de l’expression du terme
inertiel relativiste dans l’équation de Newton : mdv/dt → dp/dt = dmgv/dt.
Ensuite, la sommation sur l’ensemble des particules du plasma (9.23) permet
d’exprimer ces coefficients relativistes. Dans la suite du problème nous utiliserons
un système d’unités adapté à ce régime relativiste : m e = c = e = 1. Le résultat
final est donné par :
∂ f r
∂t
=
1
t e
1
p 2
∂
∂ p
g
2 f r +
1
t e
Z + 1
2
g
p 3
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
f r
(9.44)
Cette équation cinétique relativiste décrit le ralentissement dû aux collisions électron
rapide-électrons (premier terme du membre de droite) et la diffusion angulaire dû aux
électrons et ions (deuxième terme du membre de droite). La solution correspondant
aux conditions initiales (9.42) est obtenue en développant la fonction f r sur une base
de polynômes de Legendre, l’opérateur de diffusion angulaire est ainsi diagonalisé,
puis l’équation différentielle ordinaire du premier ordre sur l’impulsion résolu par
quadrature. La solution ainsi établi :
f r ( p, u, t) =
d
arctan ( p) − p − arctan ( p 0 ) + p 0 −
t
te
4pg 2
(9.45)
×
l=+∞
l=0
(2l + 1)
p (g 0 + 1)
p 0 (g + 1)
(Z +1)l(l+1)
2
P l (cos u) P l (cos u 0 )
décrit la combinaison d’un ralentissement et d’une diffusion illustrée par la figure
9.17.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
345
Cet électron interagit avec les électrons du plasma décrit par la distribution f e (p 1 ) et
les ions décrit par la distribution f i (p 2 ) ; ces deux distributions sont statiques.
f e (p 1 ) = n e
d ( p 1 )
4p p 2
1
,
f i (p 2 ) = n i
d ( p 2 )
4p p 2
2
(9.43)
Dans ce modèle de cible, nous avons négligé l’élargissement des fonctions de distribution f e et f i (élargissement décrivant la température finie du plasma) car l’ordering des vitesses des électrons, ions et électrons rapides s’établi comme suit :
p
2
m e kT e et p
2
m i kT i . Le temps caractéristique de ralentissement et de diffusion pour les électrons relativiste est défini par : t e = 4p´
2
0 m
2
e c
3
/e
4 n e L ; f r (p, t)
obéit à une équation de Landau du type (9.20) :
∂ f r
∂t
= −
∂
∂p
·
dp
dt
f r +
∂
∂p
·
∂
∂p
·
dpdp
2dt
f r
Mais, les expressions des coefficients de friction dp /dt et de diffusion
dpdp /2dt doivent être étendues au cas du régime relativiste. Pour ce faire,
les intégrales du type (4.14) doivent être calculées à partir de l’expression du terme
inertiel relativiste dans l’équation de Newton : mdv/dt → dp/dt = dmgv/dt.
Ensuite, la sommation sur l’ensemble des particules du plasma (9.23) permet
d’exprimer ces coefficients relativistes. Dans la suite du problème nous utiliserons
un système d’unités adapté à ce régime relativiste : m e = c = e = 1. Le résultat
final est donné par :
∂ f r
∂t
=
1
t e
1
p 2
∂
∂ p
g
2 f r +
1
t e
Z + 1
2
g
p 3
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
f r
(9.44)
Cette équation cinétique relativiste décrit le ralentissement dû aux collisions électron
rapide-électrons (premier terme du membre de droite) et la diffusion angulaire dû aux
électrons et ions (deuxième terme du membre de droite). La solution correspondant
aux conditions initiales (9.42) est obtenue en développant la fonction f r sur une base
de polynômes de Legendre, l’opérateur de diffusion angulaire est ainsi diagonalisé,
puis l’équation différentielle ordinaire du premier ordre sur l’impulsion résolu par
quadrature. La solution ainsi établi :
f r ( p, u, t) =
d
arctan ( p) − p − arctan ( p 0 ) + p 0 −
t
te
4pg 2
(9.45)
×
l=+∞
l=0
(2l + 1)
p (g 0 + 1)
p 0 (g + 1)
(Z +1)l(l+1)
2
P l (cos u) P l (cos u 0 )
décrit la combinaison d’un ralentissement et d’une diffusion illustrée par la figure
9.17.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit