9.3 Processus cinétiques
343
Le terme de diffusion ionique (9.25) s’exprime en fonction de la vitesse critique v c
et du temps de ralentissement des alphas thermonucléaire t a :
v
3
c ≡ 3Z i
p
2
kT
m e
kT
m i
,
t a ≡
12p
3
2
√
2L
´
2
0 m a m i
Z i Z 2
a e 4 n i
kT
m e
kT
m i
comme :
dvdv
dt
=
m i
m a
v
3
c
t a
Iv
2
− vv
v 3
L’expression intégrale du coefficient de friction dynamique (9.24) peut être sommée
pour les distributions ionique et électronique du type (9.39) ; le résultat finale est :
dv
dt
= −
Z
2
a e
4 n e
√ m e L
3´ 2
0 m a (2pkT )
3
2
v
Ralentissement électronique
−
Z
2
i Z
2
a e
4 n i (m i + m a ) L
4p´ 2
0 m 2
a m i v 3
v
Ralentissement ionique
= −
v
3
c + v
3
v 3
v
t a
−
m i
m a
v
3
c
v 3
v
t a
Compte tenu de la relation (9.26), qui prend ici la forme :
∂
∂v
·
dvdv
2dt
= −
1
t a
m i
m a
v
3
c
v 3 v
une partie de la friction dynamique annule une partie du terme de diffusion dynamique ; le résultat final est alors donné par :
∂ f a
∂t
=
1
t a
1
v 2
∂
∂v
v
3
c + v
3
f a +
1
t a
m i
m a
v
3
c
2v 3
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
f a
(9.40)
Cette dernière expression constitue l’équation cinétique des particules alpha dans les
plasmas thermonucléaires. La vitesse critique v c (m a v
2
c ≈ 33 T e ) marque la limite
entre le régime de ralentissement électronique à haute vitesse (v > v c ) et le régime de
ralentissement ionique à basse vitesse (v < v c ). Le terme d’isotropisation est purement ionique. L’équation de Landau pour les particules alpha (9.40) peut être résolu
avec les conditions initiales (9.38) ; pour ce faire, le terme de diffusion angulaire est
diagonalisé sur la base des polynômes de Legendre (9.36) :
f a (v, u, t) ∼
l
b l ( p, t) P l (cos u 0 )P l (cos u),
et les équations différentielles ordinaires du premier ordre sur b l ( p, t) ainsi obtenues
sont résolues par quadrature, le résultat final s’exprime donc comme une somme sur
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
343
Le terme de diffusion ionique (9.25) s’exprime en fonction de la vitesse critique v c
et du temps de ralentissement des alphas thermonucléaire t a :
v
3
c ≡ 3Z i
p
2
kT
m e
kT
m i
,
t a ≡
12p
3
2
√
2L
´
2
0 m a m i
Z i Z 2
a e 4 n i
kT
m e
kT
m i
comme :
dvdv
dt
=
m i
m a
v
3
c
t a
Iv
2
− vv
v 3
L’expression intégrale du coefficient de friction dynamique (9.24) peut être sommée
pour les distributions ionique et électronique du type (9.39) ; le résultat finale est :
dv
dt
= −
Z
2
a e
4 n e
√ m e L
3´ 2
0 m a (2pkT )
3
2
v
Ralentissement électronique
−
Z
2
i Z
2
a e
4 n i (m i + m a ) L
4p´ 2
0 m 2
a m i v 3
v
Ralentissement ionique
= −
v
3
c + v
3
v 3
v
t a
−
m i
m a
v
3
c
v 3
v
t a
Compte tenu de la relation (9.26), qui prend ici la forme :
∂
∂v
·
dvdv
2dt
= −
1
t a
m i
m a
v
3
c
v 3 v
une partie de la friction dynamique annule une partie du terme de diffusion dynamique ; le résultat final est alors donné par :
∂ f a
∂t
=
1
t a
1
v 2
∂
∂v
v
3
c + v
3
f a +
1
t a
m i
m a
v
3
c
2v 3
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
f a
(9.40)
Cette dernière expression constitue l’équation cinétique des particules alpha dans les
plasmas thermonucléaires. La vitesse critique v c (m a v
2
c ≈ 33 T e ) marque la limite
entre le régime de ralentissement électronique à haute vitesse (v > v c ) et le régime de
ralentissement ionique à basse vitesse (v < v c ). Le terme d’isotropisation est purement ionique. L’équation de Landau pour les particules alpha (9.40) peut être résolu
avec les conditions initiales (9.38) ; pour ce faire, le terme de diffusion angulaire est
diagonalisé sur la base des polynômes de Legendre (9.36) :
f a (v, u, t) ∼
l
b l ( p, t) P l (cos u 0 )P l (cos u),
et les équations différentielles ordinaires du premier ordre sur b l ( p, t) ainsi obtenues
sont résolues par quadrature, le résultat final s’exprime donc comme une somme sur
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit