9.3 Processus cinétiques
339
distribution f e (p, t > 0) est donnée par la solution de l’équation de Landau (9.20) :
∂ f e (p, t)
∂t
=
Z
2 e
4 m e n i L
4p´ 2
0
∂
∂p
·
p
p 3 +
∂
∂p
·
∂
∂p
·
I p
2
− pp
2 p 3
f e (p, t)
Compte tenu de l’identité (9.26) et de la définition du temps d’isotropisation électronion : t ei ( p) = 8p´
2
0 p
3
/Z
2 e
4 m e n i L, cette équation d’évolution de la distribution,
initialement monocinétique, devient :
∂ f e
∂t
=
1
t ei ( p)
∂
∂p
·
I p
2
− pp
·
∂
∂p
f e
Ainsi apparaît un opérateur différentiel décrivant l’isotropisation, c’est-à-dire une
marche aléatoire sur une sphére, dont l’expression en coordonnées sphérique est :
∂
∂p
·
I p
2
− pp
·
∂
∂p
=
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
+
1
sin
2
u
∂
2
∂w 2
Cet opérateur n’est autre que la partie angulaire du Laplacien ou le carré de l’opérateur moment cinétique orbital en mécanique quantique. Le processus d’isotropisation, dans un modèle de Lorentz, conserve donc la norme de l’impulsion |p 0 | = |p|
ce qui était un résultat attendu. Dans un système de coordonnées sphériques, l’équation de Landau décrivant l’isotropisation de la population électronique est donnée
par :
∂ f e
∂t
=
1
t ei ( p)
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
f e
(9.35)
Les fonctions propres de l’opérateur moment cinétique en mécanique quantique sont
les harmoniques sphériques, qui en l’absence de dépendance en l’angle w se réduisent
aux polynômes de Legendre P l (cos u).
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
P l (cos u) = l (l + 1) P l (cos u)
(9.36)
La famille des polynômes de Legendre (Figure 9.14), P l (x) tels que l = 0, 1, 2, 3,
4, 5..., constitue une base orthogonale complète de l’ensemble des fonctions sur le
cercle :
+1
−1
P l (x) P m (x) dx =
2
2l + 1
d
m
l ,
d
cos u
− cos u
=
l=+∞
l=0
2l + 1
2
P l (cos u)P l (cos u
)
Ils peuvent être définis de multiples façons, soit a partir d’une fonction génératrice,
soit à partir d’un développement ou d’une équation différentielle.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
339
distribution f e (p, t > 0) est donnée par la solution de l’équation de Landau (9.20) :
∂ f e (p, t)
∂t
=
Z
2 e
4 m e n i L
4p´ 2
0
∂
∂p
·
p
p 3 +
∂
∂p
·
∂
∂p
·
I p
2
− pp
2 p 3
f e (p, t)
Compte tenu de l’identité (9.26) et de la définition du temps d’isotropisation électronion : t ei ( p) = 8p´
2
0 p
3
/Z
2 e
4 m e n i L, cette équation d’évolution de la distribution,
initialement monocinétique, devient :
∂ f e
∂t
=
1
t ei ( p)
∂
∂p
·
I p
2
− pp
·
∂
∂p
f e
Ainsi apparaît un opérateur différentiel décrivant l’isotropisation, c’est-à-dire une
marche aléatoire sur une sphére, dont l’expression en coordonnées sphérique est :
∂
∂p
·
I p
2
− pp
·
∂
∂p
=
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
+
1
sin
2
u
∂
2
∂w 2
Cet opérateur n’est autre que la partie angulaire du Laplacien ou le carré de l’opérateur moment cinétique orbital en mécanique quantique. Le processus d’isotropisation, dans un modèle de Lorentz, conserve donc la norme de l’impulsion |p 0 | = |p|
ce qui était un résultat attendu. Dans un système de coordonnées sphériques, l’équation de Landau décrivant l’isotropisation de la population électronique est donnée
par :
∂ f e
∂t
=
1
t ei ( p)
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
f e
(9.35)
Les fonctions propres de l’opérateur moment cinétique en mécanique quantique sont
les harmoniques sphériques, qui en l’absence de dépendance en l’angle w se réduisent
aux polynômes de Legendre P l (cos u).
1
sin u
∂
∂u
sin u
∂
∂u
P l (cos u) = l (l + 1) P l (cos u)
(9.36)
La famille des polynômes de Legendre (Figure 9.14), P l (x) tels que l = 0, 1, 2, 3,
4, 5..., constitue une base orthogonale complète de l’ensemble des fonctions sur le
cercle :
+1
−1
P l (x) P m (x) dx =
2
2l + 1
d
m
l ,
d
cos u
− cos u
=
l=+∞
l=0
2l + 1
2
P l (cos u)P l (cos u
)
Ils peuvent être définis de multiples façons, soit a partir d’une fonction génératrice,
soit à partir d’un développement ou d’une équation différentielle.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit