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9 • Collisions, relaxation et transport
1
0
1
P 4
P 1
P 5
P 3
P 2
0
Figure 9.14 Premiers polynômes de Legendre : P l (x) pour l = 1, 2, 3, 4, 5.
La définition la plus opérationnelle d’un point de vue numérique est la relation de
récurrence :
P l+1 (x) =
2l + 1
l + 1
x P l (x) −
l
l + 1
P l−1 (x) → P 0 = 1, P 1 = x, P 2 =
3x
2
− 1
2
, ...
Les premiers polynômes de Legendre : P l (x) pour l = 1, 2, 3, 4, 5 sont représentés
sur la figure 9.14.
La solution de l’équation d’évolution (9.35) est obtenue à partir d’une décomposition :
f e ( p, u, t) ∼
l
a l ( p, t) P l (cos u 0 )P l (cos u),
suivie d’une substitution dans l’équation (9.35) ; ainsi, chacun des coefficients a l du
développement vérifie une équation de relaxation linéaire et peut être exprimé en
fonction du temps. La solution est une somme pondérée de polynômes de Legendre,
les coefficients de pondération décroissants exponentiellement avec le temps et
l’ordre du polynôme.
f e ( p, u, t) =
d ( p − p 0 )
2p p 2
0
l=+∞
l=0
l +
1
2
exp
−
l(l + 1)
t ei ( p 0 )
t
P l (cos u 0 )P l (cos u)
(9.37)
La figure 9.15 représente ce processus d’isotropisation dans l’espace des impulsions,
les niveaux de gris étant proportionnels à la densité de probabilité.
Notons que, pour la clarté du schéma, nous avons élargie la distribution au cours du
temps suivant la direction radiale, alors que la relation (9.37) montre clairement que
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
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0
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P 4
P 1
P 5
P 3
P 2
0
Figure 9.14 Premiers polynômes de Legendre : P l (x) pour l = 1, 2, 3, 4, 5.
La définition la plus opérationnelle d’un point de vue numérique est la relation de
récurrence :
P l+1 (x) =
2l + 1
l + 1
x P l (x) −
l
l + 1
P l−1 (x) → P 0 = 1, P 1 = x, P 2 =
3x
2
− 1
2
, ...
Les premiers polynômes de Legendre : P l (x) pour l = 1, 2, 3, 4, 5 sont représentés
sur la figure 9.14.
La solution de l’équation d’évolution (9.35) est obtenue à partir d’une décomposition :
f e ( p, u, t) ∼
l
a l ( p, t) P l (cos u 0 )P l (cos u),
suivie d’une substitution dans l’équation (9.35) ; ainsi, chacun des coefficients a l du
développement vérifie une équation de relaxation linéaire et peut être exprimé en
fonction du temps. La solution est une somme pondérée de polynômes de Legendre,
les coefficients de pondération décroissants exponentiellement avec le temps et
l’ordre du polynôme.
f e ( p, u, t) =
d ( p − p 0 )
2p p 2
0
l=+∞
l=0
l +
1
2
exp
−
l(l + 1)
t ei ( p 0 )
t
P l (cos u 0 )P l (cos u)
(9.37)
La figure 9.15 représente ce processus d’isotropisation dans l’espace des impulsions,
les niveaux de gris étant proportionnels à la densité de probabilité.
Notons que, pour la clarté du schéma, nous avons élargie la distribution au cours du
temps suivant la direction radiale, alors que la relation (9.37) montre clairement que
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit