338
9 • Collisions, relaxation et transport
peut être résolue. La solution du problème du ralentissement ionique est donc un
simple ralentissement algébrique pour le cas des ions suprathermiques,
Suprathermique : f i (p, t) = d
p − p 0
1 −
3t
t ie (v 0 )
1
3
Subthermique : f i (p, t) = d
p − p 0 exp
−
t
t ie (T )
(9.33)
et un ralentissement exponentiel pour le cas des ions subthermiques.
Les modèles cinétiques ne prenant en compte que le terme de ralentissement, c’està-dire la dérivée du premier ordre dans l’équation de Landau, sont équivalents à la
théorie du ralentissement de Bethe-Bohr. Cette théorie de Bethe-Bohr, ainsi que ses
multiples raffinements, ne sont en fait que la version lagrangienne de l’équation de
Landau considérée comme une équation eulérienne.
9.3.2 Isotropisation
Nous allons maintenant étudier le processus d’isotropisation des vitesses d’une population électronique induit par les collisions avec une population ionique. En effet, il
est fréquent dans les plasmas thermonucléaires et spatiaux magnétisés que la population électronique présentent une fonction de distribution anisotrope. En théorie cinétique, l’hypothèse de collisions sur des ions infiniment lourds conduit à des modèles,
très répandus, dits de Lorentz. Soit donc une population d’ions, supposés infiniment
lourds et de charge Ze, et distribués suivant la densité de probabilité f i (p 2 ). Ces
ions au repos interagissent avec un électron de masse m e et d’impulsion initiale p 0
représenté par sa fonction de distribution initiale : f e (p, t = 0).
f e (p, t = 0) =
d ( p − p 0 )
2p p 2
0
d (cos u 0 − cos u) ,
f i (p 2 ) = n i
d ( p 2 )
4p p 2
2
(9.34)
où p = |p| et u = arccos
u·p/ p
constituent un système de coordonnées sphériques d’axe u dans l’espace des impulsions p ; u 0 = arccos
u·p 0 / p 0
. Nous ne
prenons pas en compte le deuxième angle sphérique w car, en présence d’un champ
magnétique, si l’axe de référence u du système sphérique est parallèle au champ
magnétique, la rotation cyclotrique rend la distribution suivant cet angle w homogène. Le cas des plasmas magnétisés étant très répandu, nous supposons donc implicitement que cette étude (et les suivantes) ce réfère à ce cas. Notons que l’inclusion du deuxième angle sphérique w ne pose aucun problème supplémentaire si nous
voulons étendre les résultats aux cas sans champ magnétique. Comme les ions sont
infiniment lourds, il ne peut y avoir de transfert d’énergie et la norme de l’impulsion
électronique |p| reste invariante. Par contre, l’effet cumulatif des collisions induit
un élargissement de la distribution angulaire et une isotropisation. La fonction de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
peut être résolue. La solution du problème du ralentissement ionique est donc un
simple ralentissement algébrique pour le cas des ions suprathermiques,
Suprathermique : f i (p, t) = d
p − p 0
1 −
3t
t ie (v 0 )
1
3
Subthermique : f i (p, t) = d
p − p 0 exp
−
t
t ie (T )
(9.33)
et un ralentissement exponentiel pour le cas des ions subthermiques.
Les modèles cinétiques ne prenant en compte que le terme de ralentissement, c’està-dire la dérivée du premier ordre dans l’équation de Landau, sont équivalents à la
théorie du ralentissement de Bethe-Bohr. Cette théorie de Bethe-Bohr, ainsi que ses
multiples raffinements, ne sont en fait que la version lagrangienne de l’équation de
Landau considérée comme une équation eulérienne.
9.3.2 Isotropisation
Nous allons maintenant étudier le processus d’isotropisation des vitesses d’une population électronique induit par les collisions avec une population ionique. En effet, il
est fréquent dans les plasmas thermonucléaires et spatiaux magnétisés que la population électronique présentent une fonction de distribution anisotrope. En théorie cinétique, l’hypothèse de collisions sur des ions infiniment lourds conduit à des modèles,
très répandus, dits de Lorentz. Soit donc une population d’ions, supposés infiniment
lourds et de charge Ze, et distribués suivant la densité de probabilité f i (p 2 ). Ces
ions au repos interagissent avec un électron de masse m e et d’impulsion initiale p 0
représenté par sa fonction de distribution initiale : f e (p, t = 0).
f e (p, t = 0) =
d ( p − p 0 )
2p p 2
0
d (cos u 0 − cos u) ,
f i (p 2 ) = n i
d ( p 2 )
4p p 2
2
(9.34)
où p = |p| et u = arccos
u·p/ p
constituent un système de coordonnées sphériques d’axe u dans l’espace des impulsions p ; u 0 = arccos
u·p 0 / p 0
. Nous ne
prenons pas en compte le deuxième angle sphérique w car, en présence d’un champ
magnétique, si l’axe de référence u du système sphérique est parallèle au champ
magnétique, la rotation cyclotrique rend la distribution suivant cet angle w homogène. Le cas des plasmas magnétisés étant très répandu, nous supposons donc implicitement que cette étude (et les suivantes) ce réfère à ce cas. Notons que l’inclusion du deuxième angle sphérique w ne pose aucun problème supplémentaire si nous
voulons étendre les résultats aux cas sans champ magnétique. Comme les ions sont
infiniment lourds, il ne peut y avoir de transfert d’énergie et la norme de l’impulsion
électronique |p| reste invariante. Par contre, l’effet cumulatif des collisions induit
un élargissement de la distribution angulaire et une isotropisation. La fonction de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit