9.2 Interaction particules-particules
331
9.2.3 Équation de l’EEDF
Cette équation est souvent appelée, improprement, équation de Boltzmann électronique, l’usage actuelle dans la littérature anglo-saxone est d’utiliser le terme electron energy distribution function (EEDF) pour nommer f e (v, t), la fonction de
distribution du module de la vitesse électronique, et l’équation de Fokker-Planck
associée équation de l’EEDF ; nous adopterons ici cette terminologie. L’équation
de Fokker-Planck (2.29, 9.9) pour la fonction de distribution électronique f e (v,t)
exprime la variation temporelle locale de la probabilité comme la divergence d’un
flux.
∂ f e (v,t)
∂t
= −
∂
∂v
·
dv
dt
−
∂
∂v
·
dvdv
2dt
f e (v, t)
(9.27)
En développant le terme de dérivée seconde,
∂ f e
∂t
= −
∂
∂v
·
dv
dt
f e − f e
∂
∂v
·
dvdv
2dt
−
dvdv
2dt
·
∂ f e
∂v
puis, en considérant une distribution d’équilibre f 0 (v) qui est nécessairement solution de l’équation (9.27), nous obtenons une relation générale entre le coefficient de
friction et le coefficient de diffusion.
f 0 (v) =
2pkT
m
−
3
2
exp
−
mv
2
2kT
→
dv
dt
−
∂
∂v
·
dvdv
2dt
= −
dvdv
2dt
·
mv
kT
Ainsi, compte tenu de cette identité, en réécrivant l’équation (9.27) en coordonnées
sphériques dans l’espace des vitesses, nous obtenons l’équation de l’EEDF sous sa
forme usuelle.
∂ f e (v,t)
∂t
=
1
v 2
∂
∂v
v
2
dv
2
2dt
mv
kT
f e (v, t) +
∂ f e (v, t)
∂v
où T est la température du gaz neutre en interaction avec les électrons. Sans préciser la nature exacte de ce gaz, de masse M par particule, et le détail de sa distribution de vitesse v 2 , l’ensemble des hypothèse suivantes : M m, v 2 = 0 et
v 2 v 2 =
kT /M
I est suffisant pour établir l’expression du coefficient de diffusion
dv
2
/2dt.
Considérons une collision entre un électron de vitesse v 1 et un neutre du gaz
de vitesse v 2 , à l’issue de la collision les vitesses deviennent égales à v
1 et v
2 :
(v 1 , v 2 ) →
v
1 , v
2
. Le module de la vitesse relative est conservé dans ce processus
ainsi que l’impulsion totale.
(v 1 − v 2 )
2
=
v
1 − v
2
2 ,
mv 1 + Mv 2 = mv
1 + Mv
2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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9.2.3 Équation de l’EEDF
Cette équation est souvent appelée, improprement, équation de Boltzmann électronique, l’usage actuelle dans la littérature anglo-saxone est d’utiliser le terme electron energy distribution function (EEDF) pour nommer f e (v, t), la fonction de
distribution du module de la vitesse électronique, et l’équation de Fokker-Planck
associée équation de l’EEDF ; nous adopterons ici cette terminologie. L’équation
de Fokker-Planck (2.29, 9.9) pour la fonction de distribution électronique f e (v,t)
exprime la variation temporelle locale de la probabilité comme la divergence d’un
flux.
∂ f e (v,t)
∂t
= −
∂
∂v
·
dv
dt
−
∂
∂v
·
dvdv
2dt
f e (v, t)
(9.27)
En développant le terme de dérivée seconde,
∂ f e
∂t
= −
∂
∂v
·
dv
dt
f e − f e
∂
∂v
·
dvdv
2dt
−
dvdv
2dt
·
∂ f e
∂v
puis, en considérant une distribution d’équilibre f 0 (v) qui est nécessairement solution de l’équation (9.27), nous obtenons une relation générale entre le coefficient de
friction et le coefficient de diffusion.
f 0 (v) =
2pkT
m
−
3
2
exp
−
mv
2
2kT
→
dv
dt
−
∂
∂v
·
dvdv
2dt
= −
dvdv
2dt
·
mv
kT
Ainsi, compte tenu de cette identité, en réécrivant l’équation (9.27) en coordonnées
sphériques dans l’espace des vitesses, nous obtenons l’équation de l’EEDF sous sa
forme usuelle.
∂ f e (v,t)
∂t
=
1
v 2
∂
∂v
v
2
dv
2
2dt
mv
kT
f e (v, t) +
∂ f e (v, t)
∂v
où T est la température du gaz neutre en interaction avec les électrons. Sans préciser la nature exacte de ce gaz, de masse M par particule, et le détail de sa distribution de vitesse v 2 , l’ensemble des hypothèse suivantes : M m, v 2 = 0 et
v 2 v 2 =
kT /M
I est suffisant pour établir l’expression du coefficient de diffusion
dv
2
/2dt.
Considérons une collision entre un électron de vitesse v 1 et un neutre du gaz
de vitesse v 2 , à l’issue de la collision les vitesses deviennent égales à v
1 et v
2 :
(v 1 , v 2 ) →
v
1 , v
2
. Le module de la vitesse relative est conservé dans ce processus
ainsi que l’impulsion totale.
(v 1 − v 2 )
2
=
v
1 − v
2
2 ,
mv 1 + Mv 2 = mv
1 + Mv
2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit