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9 • Collisions, relaxation et transport
Rassemblant les résultats qui viennent d’étre établis dans ce paragraphe, l’expression
finale du coefficient de friction dynamique est donc :
dp 1 (v 1 )
dt
= −
q
2
1 q
2
2 L
4p´ 2
0
(m 1 + m 2 )
m 1 m 2
f 2 (p 2 )
v 1 − v 2
|v 1 − v 2 |
3
dp 2
(9.24)
et celle du coefficient de diffusion :
dp 1 dp 1 (v 1 )
dt
=
q
2
1 q
2
2 L
4p´ 2
0
f 2 (p 2 )
I |v 1 − v 2 |
2
− (v 1 − v 2 ) (v 1 − v 2 )
|v 1 − v 2 |
3
dp 2
(9.25)
Dans l’équation de Landau (9.20) le terme de convection décrit un ralentissement
et le terme de diffusion un élargissement de la fonction de distribution, donc une
production d’entropie. Ces coefficients sont parfois appelés coefficients de SpitzerChandrasekhar de l’équation de Landau. Diverse formes de cette équation peuvent
être obtenues à partir d’expressions particulières de dp /dt et dpdp /dt. Ainsi, il
est parfois utile de faire apparaître des potentiels dits de Rosenbluth-Trubnikov qui
simplifient l’écriture de ces coefficients, nous ne développerons pas cette forme ici,
nous noterons néanmoins l’identité :
∂
∂p
·
I p
2
− pp
p 3
= −2
p
p 3
(9.26)
qui sera utile dans la suite. L’équation de Landau possède un certain nombre de propriétés générales. En particulier, lorsque la fonction de distribution de la population
2 est une maxwellienne, alors, au bout d’un certain temps, la fonction de distribution
de la population 1 tend asymptotiquement vers une maxwellienne qui constitue une
solution stationnaire.
f 2 (p 2 ) = n 2
exp
−
p
2
2
2m2kT
(2pm 2 kT )
3
2
→ f (p, t → +∞) → n
exp
−
p
2
2mkT
(2pmkT )
3
2
L’échelle de temps d’un tel processus de thermalisation est différente selon les populations, le processus le plus rapide est la thermalisation d’une population d’électrons
due aux collisions électrons-électrons. Un processus plus lent est ensuite la thermalisation de la population ionique due aux collisions ions-ions. Enfin, l’étape finale de
l’approche vers l’équilibre thermodynamique, la thermalisation électrons-ions, est
beaucoup plus lente. Un certain nombre de méthodes d’approximation ont été mises
au point pour résoudre l’équation de Landau et étudier les différentes étapes des
processus de relaxation collisionelle. Nous étudierons les deux processus les plus
importants, l’isotropisation électronique et le ralentissement ionique. Mais avant,
nous allons construire l’équation cinétique décrivant l’évolution de la fonction de
distribution électronique résultant des collisions électrons-neutres.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
Rassemblant les résultats qui viennent d’étre établis dans ce paragraphe, l’expression
finale du coefficient de friction dynamique est donc :
dp 1 (v 1 )
dt
= −
q
2
1 q
2
2 L
4p´ 2
0
(m 1 + m 2 )
m 1 m 2
f 2 (p 2 )
v 1 − v 2
|v 1 − v 2 |
3
dp 2
(9.24)
et celle du coefficient de diffusion :
dp 1 dp 1 (v 1 )
dt
=
q
2
1 q
2
2 L
4p´ 2
0
f 2 (p 2 )
I |v 1 − v 2 |
2
− (v 1 − v 2 ) (v 1 − v 2 )
|v 1 − v 2 |
3
dp 2
(9.25)
Dans l’équation de Landau (9.20) le terme de convection décrit un ralentissement
et le terme de diffusion un élargissement de la fonction de distribution, donc une
production d’entropie. Ces coefficients sont parfois appelés coefficients de SpitzerChandrasekhar de l’équation de Landau. Diverse formes de cette équation peuvent
être obtenues à partir d’expressions particulières de dp /dt et dpdp /dt. Ainsi, il
est parfois utile de faire apparaître des potentiels dits de Rosenbluth-Trubnikov qui
simplifient l’écriture de ces coefficients, nous ne développerons pas cette forme ici,
nous noterons néanmoins l’identité :
∂
∂p
·
I p
2
− pp
p 3
= −2
p
p 3
(9.26)
qui sera utile dans la suite. L’équation de Landau possède un certain nombre de propriétés générales. En particulier, lorsque la fonction de distribution de la population
2 est une maxwellienne, alors, au bout d’un certain temps, la fonction de distribution
de la population 1 tend asymptotiquement vers une maxwellienne qui constitue une
solution stationnaire.
f 2 (p 2 ) = n 2
exp
−
p
2
2
2m2kT
(2pm 2 kT )
3
2
→ f (p, t → +∞) → n
exp
−
p
2
2mkT
(2pmkT )
3
2
L’échelle de temps d’un tel processus de thermalisation est différente selon les populations, le processus le plus rapide est la thermalisation d’une population d’électrons
due aux collisions électrons-électrons. Un processus plus lent est ensuite la thermalisation de la population ionique due aux collisions ions-ions. Enfin, l’étape finale de
l’approche vers l’équilibre thermodynamique, la thermalisation électrons-ions, est
beaucoup plus lente. Un certain nombre de méthodes d’approximation ont été mises
au point pour résoudre l’équation de Landau et étudier les différentes étapes des
processus de relaxation collisionelle. Nous étudierons les deux processus les plus
importants, l’isotropisation électronique et le ralentissement ionique. Mais avant,
nous allons construire l’équation cinétique décrivant l’évolution de la fonction de
distribution électronique résultant des collisions électrons-neutres.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit