9.2 Interaction particules-particules
329
b et une vitesse relative initiale v les relations (4.14) permettent d’établir :
dv ⊥ (v, b) =
q 1 q 2
2p´ 0 m
1
vb
,
dv (v, b) = −
q 1 q 2
2p´ 0 m
2 1
2v 3 b 2
(9.21)
où m la masse réduite des particules de type 1 et 2 (la variation de vitesse parallèle
dv , nulle à l’ordre le plus bas (4.14), est donc du deuxième ordre par rapport à la
variation de vitesse perpendiculaire dv ⊥ : (v+dv )
2 +dv
2
⊥ = v
2 ). Dans le paragraphe
sur les invariants collisionnels nous avons établi la relation (9.15) dp 1 = mdv entre
la rotation de la vitesse relative et la variation d’impulsion d’une particule. La variation de quantité de mouvement d’une particule de type 1 résultant d’une collision
coulombienne avec une particule de type 2 est donc donnée par :
dp 1 (v, b) = mdv ⊥
b
b
+mdv
v
v
(9.22)
Les figures 4.4, 4.6 et 4.8 illustrent la configuration vectorielle de ce transfert dans
les cas ion/électron (Figure 4.6) et électron/ion (Figure 4.8). Pendant une durée infinitésimale dt il faut sommer les effets de l’ensemble des collisions se déroulant sur
le trajet vdt. Il faut donc intégrer (9.21) sur toutes les particules de type 2 possédant la vitesse relative v et se trouvant dans un cylindre d’épaisseur vdt, de rayon
maximum égal à la longueur de Debye l D et de rayon minimum égal à la longueur
de Landau ou à la longueur de de Broglie l C (Figure 4.7). Une telle intégrale sur
le vecteur dv ⊥ (v, b) b/b donne un résultat nul car les probabilités de déflexion vers
le haut ou vers le bas (ou vers la gauche ou vers la droite ) sont égales. Il faut donc
intégrer dv
2
⊥ (v, b) pour obtenir un résultat non nul.
dv
= f 2 (p 2 )vdt
lD
lC
2pbdv db,
dv
2
⊥
= f 2 (p 2 )vdt
lD
lC
2pbdv
2
⊥ db
(9.23)
où v = |v 1 − v 2 |. L’intégrale sur le paramètre d’impact b diverge logarithmiquement
et s’exprime en fonction du logarithme coulombien L (4.16). Chaque contribution
des particules de type 2 ayant une vitesse relative v doit ensuite être sommée sur la
distribution f 2 (p 2 ). Considérons la représentation (cos a, sin a) du vecteur unitaire
b/b dans le plan perpendiculaire au vecteur v = v 1 − v 2 . La moyenne sur l’angle
a donne b/b = 0, ainsi le terme de friction de l’équation de Landau (9.22, 9.23,
9.21) se réduit à une composante suivant v. Pour le calcul du tenseur dp 1 dp 1 ,
à l’ordre le plus bas, nous considérons uniquement les termes suivant bb/b
2 , les
termes en bv et vv étant d’ordres supérieurs. La représentation (cos a, sin a) du
vecteur unitaire b/b, dans le plan perpendiculaire au vecteur v, permet d’établir :
bb/b
2
=
I − vv/v
2
/2, où I est l’opérateur identité. Les coefficients de friction
et de diffusion se réduisent donc à :
dp 1 = m
dv
v
v
dp 2 ,
dp 1 dp 1 = m
2
dv
2
⊥
Iv
2
− vv
2v 2
dp 2
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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b et une vitesse relative initiale v les relations (4.14) permettent d’établir :
dv ⊥ (v, b) =
q 1 q 2
2p´ 0 m
1
vb
,
dv (v, b) = −
q 1 q 2
2p´ 0 m
2 1
2v 3 b 2
(9.21)
où m la masse réduite des particules de type 1 et 2 (la variation de vitesse parallèle
dv , nulle à l’ordre le plus bas (4.14), est donc du deuxième ordre par rapport à la
variation de vitesse perpendiculaire dv ⊥ : (v+dv )
2 +dv
2
⊥ = v
2 ). Dans le paragraphe
sur les invariants collisionnels nous avons établi la relation (9.15) dp 1 = mdv entre
la rotation de la vitesse relative et la variation d’impulsion d’une particule. La variation de quantité de mouvement d’une particule de type 1 résultant d’une collision
coulombienne avec une particule de type 2 est donc donnée par :
dp 1 (v, b) = mdv ⊥
b
b
+mdv
v
v
(9.22)
Les figures 4.4, 4.6 et 4.8 illustrent la configuration vectorielle de ce transfert dans
les cas ion/électron (Figure 4.6) et électron/ion (Figure 4.8). Pendant une durée infinitésimale dt il faut sommer les effets de l’ensemble des collisions se déroulant sur
le trajet vdt. Il faut donc intégrer (9.21) sur toutes les particules de type 2 possédant la vitesse relative v et se trouvant dans un cylindre d’épaisseur vdt, de rayon
maximum égal à la longueur de Debye l D et de rayon minimum égal à la longueur
de Landau ou à la longueur de de Broglie l C (Figure 4.7). Une telle intégrale sur
le vecteur dv ⊥ (v, b) b/b donne un résultat nul car les probabilités de déflexion vers
le haut ou vers le bas (ou vers la gauche ou vers la droite ) sont égales. Il faut donc
intégrer dv
2
⊥ (v, b) pour obtenir un résultat non nul.
dv
= f 2 (p 2 )vdt
lD
lC
2pbdv db,
dv
2
⊥
= f 2 (p 2 )vdt
lD
lC
2pbdv
2
⊥ db
(9.23)
où v = |v 1 − v 2 |. L’intégrale sur le paramètre d’impact b diverge logarithmiquement
et s’exprime en fonction du logarithme coulombien L (4.16). Chaque contribution
des particules de type 2 ayant une vitesse relative v doit ensuite être sommée sur la
distribution f 2 (p 2 ). Considérons la représentation (cos a, sin a) du vecteur unitaire
b/b dans le plan perpendiculaire au vecteur v = v 1 − v 2 . La moyenne sur l’angle
a donne b/b = 0, ainsi le terme de friction de l’équation de Landau (9.22, 9.23,
9.21) se réduit à une composante suivant v. Pour le calcul du tenseur dp 1 dp 1 ,
à l’ordre le plus bas, nous considérons uniquement les termes suivant bb/b
2 , les
termes en bv et vv étant d’ordres supérieurs. La représentation (cos a, sin a) du
vecteur unitaire b/b, dans le plan perpendiculaire au vecteur v, permet d’établir :
bb/b
2
=
I − vv/v
2
/2, où I est l’opérateur identité. Les coefficients de friction
et de diffusion se réduisent donc à :
dp 1 = m
dv
v
v
dp 2 ,
dp 1 dp 1 = m
2
dv
2
⊥
Iv
2
− vv
2v 2
dp 2
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