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9 • Collisions, relaxation et transport
relative des deux particules et b le paramètre d’impact de la collision. L’ordre de
grandeur du temps d’interaction est donné par b/v, la variation de vitesse est proportionnelle au produit de la force par le temps d’interaction : dv ∼
b/v
b
−n−1 , d’où
une déflexion angulaire |du| ∼ dv/v ∼ b
−n
/v
2 . Le signe de cette angle étant quelconque du = 0, il nous faut considérer son carré et moyenner ce carré sur toute les
particules se trouvant à une distance b dans une couronne 2pbdb d’épaisseur vdt :
du
2
b
/dt ∼
b
0
v
−3 b
1−2n db ∼ b
2−2n
v
−3
.
La dépendance du taux de déflexion angulaire en fonction de v suivant v
−3 est
indépendante de la nature du potentiel, par contre, la dépendance en b dépend de
la forme de ce potentiel. L’estimation précédente démontre que lorsque n > 1 la
déflexion décroît avec la distance, et comme le nombre de particules en interaction
croît avec la distance il est raisonnable de supposer que la dynamique soit dominée
par un grand nombre de petites déflexions à grand paramètre d’impact plutôt que par
un petit nombre de grandes déflexions à petit paramètre d’impact. L’approximation
envisagée précédemment est donc valide. Une étude particulière du cas coulombien,
n = 1, révèle que l’approximation des petits transferts d’impulsion est aussi valide.
9.2.2 Équation de Landau
Nous allons construire l’équation de Fokker-Planck décrivant l’évolution de la fonction de distribution des impulsions dans le cas d’interactions coulombiennes, cette
équation est appelée équation de Landau.
Soit une population de particules chargées de masse m 1 et de charge q 1 dont l’impulsion est distribuée suivant la fonction de distribution f (p 1 , t). Cette population
1 interagit avec une population de particules chargées de masse m 2 et de charge q 2
dont l’impulsion est distribuée suivant la fonction de distribution f 2 (p 2 ) telle que
f 2 (p 2 )dp 2 = n 2 la densité.
Chaque particule de type 1 subit des collisions avec les particules de type 2, le problème est de transcrire la dynamique microscopique à deux particules, telle que nous
l’avons étudiée précédemment, en termes d’évolution de la fonction de distribution
f 1 (p 1 , t), f 2 (p 2 ) étant donnée. L’équation de Landau est de la forme (2.29, 9.9) :
∂ f 1
∂t
= −
∂
∂p 1
·
dp 1
dt
f 1 +
∂
∂p 1
·
∂
∂p 1
·
dp 1 dp 1
2dt
f 1
(9.20)
et nous devons évaluer les coefficients de friction dp 1 /dt et de diffusion
dp 1 dp 1 /2dt. Calculons pour ce faire la variation de la vitesse relative v, entre
deux particules 1 et 2, à l’issue d’un choc coulombien. Pour un paramètre d’impact
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
relative des deux particules et b le paramètre d’impact de la collision. L’ordre de
grandeur du temps d’interaction est donné par b/v, la variation de vitesse est proportionnelle au produit de la force par le temps d’interaction : dv ∼
b/v
b
−n−1 , d’où
une déflexion angulaire |du| ∼ dv/v ∼ b
−n
/v
2 . Le signe de cette angle étant quelconque du = 0, il nous faut considérer son carré et moyenner ce carré sur toute les
particules se trouvant à une distance b dans une couronne 2pbdb d’épaisseur vdt :
du
2
b
/dt ∼
b
0
v
−3 b
1−2n db ∼ b
2−2n
v
−3
.
La dépendance du taux de déflexion angulaire en fonction de v suivant v
−3 est
indépendante de la nature du potentiel, par contre, la dépendance en b dépend de
la forme de ce potentiel. L’estimation précédente démontre que lorsque n > 1 la
déflexion décroît avec la distance, et comme le nombre de particules en interaction
croît avec la distance il est raisonnable de supposer que la dynamique soit dominée
par un grand nombre de petites déflexions à grand paramètre d’impact plutôt que par
un petit nombre de grandes déflexions à petit paramètre d’impact. L’approximation
envisagée précédemment est donc valide. Une étude particulière du cas coulombien,
n = 1, révèle que l’approximation des petits transferts d’impulsion est aussi valide.
9.2.2 Équation de Landau
Nous allons construire l’équation de Fokker-Planck décrivant l’évolution de la fonction de distribution des impulsions dans le cas d’interactions coulombiennes, cette
équation est appelée équation de Landau.
Soit une population de particules chargées de masse m 1 et de charge q 1 dont l’impulsion est distribuée suivant la fonction de distribution f (p 1 , t). Cette population
1 interagit avec une population de particules chargées de masse m 2 et de charge q 2
dont l’impulsion est distribuée suivant la fonction de distribution f 2 (p 2 ) telle que
f 2 (p 2 )dp 2 = n 2 la densité.
Chaque particule de type 1 subit des collisions avec les particules de type 2, le problème est de transcrire la dynamique microscopique à deux particules, telle que nous
l’avons étudiée précédemment, en termes d’évolution de la fonction de distribution
f 1 (p 1 , t), f 2 (p 2 ) étant donnée. L’équation de Landau est de la forme (2.29, 9.9) :
∂ f 1
∂t
= −
∂
∂p 1
·
dp 1
dt
f 1 +
∂
∂p 1
·
∂
∂p 1
·
dp 1 dp 1
2dt
f 1
(9.20)
et nous devons évaluer les coefficients de friction dp 1 /dt et de diffusion
dp 1 dp 1 /2dt. Calculons pour ce faire la variation de la vitesse relative v, entre
deux particules 1 et 2, à l’issue d’un choc coulombien. Pour un paramètre d’impact
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit