9.2 Interaction particules-particules
323
v 1
v 2
v' 2
v' 1
m 1
m 1
m 2
m 2
Avant la collision :
énergie cinétique >> énergie potentielle
1
2
2
1
Après la collision :
énergie cinétique >> énergie potentielle
Collision
Figure 9.7 Collision entre deux particules, états entrants et sortants.
Les mouvements R(t) et r(t) sont donc intégrables et permettent d’exprimer les solutions du problème de l’interaction de deux particules : r 1 (t) = R (t) + mr (t) /m 1 et
r 2 (t) = R (t) − mr (t) /m 2 .
v 1 = V +
m
m 1
v,
v 2 = V −
m
m 2
v
(9.14)
L’énergie mécanique est conservée et cette énergie est purement sous forme cinétique
bien avant et bien après la collision (Figure 9.7). Nous noterons d les variations des
quantités entre ces deux états asymptotiques (t → ±∞). Les problèmes associés au
mouvement relatif (r, v) et au mouvement du centre de masse (R, V) sont découplés
et conservatifs, les invariants sont donc la vitesse du centre de masse V (mouvement
libre) et la norme de la vitesse relative |v| avant et après la collision :
dV = 0,
d |v| = 0.
Les variations d’impulsion subies par les particules lors de la collision s’expriment
en fonction du changement de variables précédent (9.14) : dp 1 = −dp 2 = mdv.
m 1 dv 1 = mdv,
m 2 dv 2 = −mdv
(9.15)
Cet échange d’impulsion entre les deux particules est associé à un échange d’énergie
cinétique dE 1 et dE 2 .
dE 1 =
m 1
2
(v 1 + dv 1 )
2
−
m 1
2
v
2
1 = m 1 V·dv 1 + mv·dv 1 +
m 1
2
dv
2
1
où nous avons utilisé v 1 = V + mv/m 1 . Les relations précédentes permettent d’exprimer les deux derniers termes de cette relation en fonction de la vitesse relative
initiale et de sa variation dv.
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