322
9 • Collisions, relaxation et transport
où L est la longueur de gradient de la densité. Au niveau microscopique la thermalisation est associée aux échanges d’énergie et l’isotropisation aux déflexions angulaires, nous allons donc établir un certains nombres de résultats classiques sur la
dynamique de ces transferts et déviation pour un système de deux particules.
9.2.1 Transfert d’énergie-impulsion
L’étude des collisions s’organise autour de deux aspects : l’aspect dynamique et
l’aspect cinématique ; ce dernier permet d’identifier les inconnues et les invariants
associés à la collision. Le nombre de relations ainsi établi n’étant pas suffisant pour
déterminer entièrement la valeur des transferts d’énergie et d’impulsion, il est nécessaire de considérer ensuite l’aspect dynamique du problème sur la base du concept
de section efficace (4.4).
Dans ce paragraphe nous allons nous intéresser à l’aspect cinématique des collisions
élastiques. Soient deux particules, de masses m 1 et m 2 , décrites par leur positions,
r 1 et r 2 , leur vitesses, v 1 et v 2 , et leur quantités de mouvement, p 1 = m 1 v 1 et
p 2 = m 2 v 2 . L’énergie de ce système de deux particules est donnée par :
p
2
1 /2m 1 + p
2
2 /2m 2 + U (r 1 − r 2 )
où U est l’énergie potentielle d’interaction entre les deux particules. Le problème de
l’interaction particule-particule est considérablement simplifié si nous introduisons
le changement de variables :
[r 1 , r 2 ] → [r, R] , [v 1 , v 2 ] → [v, V] et [m 1 , m 2 ] →
m, M
.
R =
m 1 r 1 + m 2 r 2
m 1 + m 2
,
V =
m 1 v 1 + m 2 v 2
m 1 + m 2
,
M ≡ m 1 + m 2
r = r 1 − r 2 ,
v = v 1 − v 2 ,
1
m
≡
1
m 1
+
1
m 2
Les variables relatives r et v sont associées à une particule fictive de masse m, la
masse effective, et de quantité de mouvement mv.
Les variables du centre de masse R et V décrivent la position et la vitesse du centre
de masse auquel nous associons la masse M.
L’énergie de ce système se décompose alors en deux parties découplées correspondant à la particule fictive de masse m soumise au potentiel U (r) et au centre de
masse M effectuant une translation uniforme.
p
2
1
2m 1
+
p
2
2
2m 2
+ U (r 1 − r 2 ) =
P
2
2M
+
p
2
2m
+ U (r)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
où L est la longueur de gradient de la densité. Au niveau microscopique la thermalisation est associée aux échanges d’énergie et l’isotropisation aux déflexions angulaires, nous allons donc établir un certains nombres de résultats classiques sur la
dynamique de ces transferts et déviation pour un système de deux particules.
9.2.1 Transfert d’énergie-impulsion
L’étude des collisions s’organise autour de deux aspects : l’aspect dynamique et
l’aspect cinématique ; ce dernier permet d’identifier les inconnues et les invariants
associés à la collision. Le nombre de relations ainsi établi n’étant pas suffisant pour
déterminer entièrement la valeur des transferts d’énergie et d’impulsion, il est nécessaire de considérer ensuite l’aspect dynamique du problème sur la base du concept
de section efficace (4.4).
Dans ce paragraphe nous allons nous intéresser à l’aspect cinématique des collisions
élastiques. Soient deux particules, de masses m 1 et m 2 , décrites par leur positions,
r 1 et r 2 , leur vitesses, v 1 et v 2 , et leur quantités de mouvement, p 1 = m 1 v 1 et
p 2 = m 2 v 2 . L’énergie de ce système de deux particules est donnée par :
p
2
1 /2m 1 + p
2
2 /2m 2 + U (r 1 − r 2 )
où U est l’énergie potentielle d’interaction entre les deux particules. Le problème de
l’interaction particule-particule est considérablement simplifié si nous introduisons
le changement de variables :
[r 1 , r 2 ] → [r, R] , [v 1 , v 2 ] → [v, V] et [m 1 , m 2 ] →
m, M
.
R =
m 1 r 1 + m 2 r 2
m 1 + m 2
,
V =
m 1 v 1 + m 2 v 2
m 1 + m 2
,
M ≡ m 1 + m 2
r = r 1 − r 2 ,
v = v 1 − v 2 ,
1
m
≡
1
m 1
+
1
m 2
Les variables relatives r et v sont associées à une particule fictive de masse m, la
masse effective, et de quantité de mouvement mv.
Les variables du centre de masse R et V décrivent la position et la vitesse du centre
de masse auquel nous associons la masse M.
L’énergie de ce système se décompose alors en deux parties découplées correspondant à la particule fictive de masse m soumise au potentiel U (r) et au centre de
masse M effectuant une translation uniforme.
p
2
1
2m 1
+
p
2
2
2m 2
+ U (r 1 − r 2 ) =
P
2
2M
+
p
2
2m
+ U (r)
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