9.2 Interaction particules-particules
321
Par exemple, l’émission spontanée et les collisions avec une population cible
froide sont les phénomènes micro-irréversibles les plus fréquents dans le
contexte de la physique des plasmas.
9.2 INTERACTION PARTICULES-PARTICULES
Dans les plasmas, loin de l’équilibre thermodynamique, la phase initiale de retour
vers l’équilibre est souvent assurée par des instabilités et la phase finale, à petite
échelle, par les collisions. Une équation cinétique collisionnelle est donc nécessaire
pour étudier l’approche finale de l’équilibre thermodynamique et les processus de
relaxation et thermalisation conduisant aux distributions maxwelliennes d’équilibre,
homogènes et isotropes.
Considérons la fonction de distribution à une particule F(r, v, t), une telle distribution est à l’équilibre lorsque les gradients spatiaux ont relaxé et lorsque les vitesses
sont distribuées suivant une gaussienne, c’est-à-dire lorsque la densité est homogène
et lorsque la distribution de vitesses est maxwelienne. Les processus d’homogénéisation de la densité et de thermalisation des vitesses ont lieu sur des échelles de temps
très différentes. La relaxation spatiale à un caractère hydrodynamique lent, à travers
les équations de transport hydrodynamique (6.12, 6.9) ; la thermalisation des vitesses
possède un caractère rapide et cinétique. Cet ordering fort entre les relaxations hydrodynamique et cinétique autorise une étude séparée de la dynamique collisionnelle de
la fonction de distribution des vitesses f (v, t). Nous retrouvons ici la hiérarchie de
Bogolioubov (2.4).
Ainsi, par exemple, pour des électrons interagissant avec des particules lourdes, la
fonction de distribution à un électron F(r, v,t) peut être factorisée en trois composantes :
F(r, v,t) ≈ n (r, t) f (v, t) g (m, t)
où v = |v| et m = v ·u/v (u est une direction de référence donnée). En effet, la
densité évolue sur une échelle de temps hydrodynamique lente à l’échelle cinétique
caractérisée par la fréquence de transfert d’impulsion n 1 (4.22, 4.21). Le transfert
d’énergie est caractérisé par cette fréquence pondérée par le rapport de masse m/M
où m est la masse de l’électron et M la masse de la particule lourde considérée. La
relaxation hydrodynamique de la densité est décrite par une diffusion (2.9, 6.12) dont
le coéfficient est de l’ordre de l
2
n 1 (4.13) où l est le libre parcours moyen. Ainsi,
l
2
L 2 n 1
Position
m
M
n 1
Énergie
n 1
Direction
→
1
n
∂n
∂t
Transport
1
f
∂ f
∂t
Thermalisation
1
g
∂g
∂t
Isotropisation
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Par exemple, l’émission spontanée et les collisions avec une population cible
froide sont les phénomènes micro-irréversibles les plus fréquents dans le
contexte de la physique des plasmas.
9.2 INTERACTION PARTICULES-PARTICULES
Dans les plasmas, loin de l’équilibre thermodynamique, la phase initiale de retour
vers l’équilibre est souvent assurée par des instabilités et la phase finale, à petite
échelle, par les collisions. Une équation cinétique collisionnelle est donc nécessaire
pour étudier l’approche finale de l’équilibre thermodynamique et les processus de
relaxation et thermalisation conduisant aux distributions maxwelliennes d’équilibre,
homogènes et isotropes.
Considérons la fonction de distribution à une particule F(r, v, t), une telle distribution est à l’équilibre lorsque les gradients spatiaux ont relaxé et lorsque les vitesses
sont distribuées suivant une gaussienne, c’est-à-dire lorsque la densité est homogène
et lorsque la distribution de vitesses est maxwelienne. Les processus d’homogénéisation de la densité et de thermalisation des vitesses ont lieu sur des échelles de temps
très différentes. La relaxation spatiale à un caractère hydrodynamique lent, à travers
les équations de transport hydrodynamique (6.12, 6.9) ; la thermalisation des vitesses
possède un caractère rapide et cinétique. Cet ordering fort entre les relaxations hydrodynamique et cinétique autorise une étude séparée de la dynamique collisionnelle de
la fonction de distribution des vitesses f (v, t). Nous retrouvons ici la hiérarchie de
Bogolioubov (2.4).
Ainsi, par exemple, pour des électrons interagissant avec des particules lourdes, la
fonction de distribution à un électron F(r, v,t) peut être factorisée en trois composantes :
F(r, v,t) ≈ n (r, t) f (v, t) g (m, t)
où v = |v| et m = v ·u/v (u est une direction de référence donnée). En effet, la
densité évolue sur une échelle de temps hydrodynamique lente à l’échelle cinétique
caractérisée par la fréquence de transfert d’impulsion n 1 (4.22, 4.21). Le transfert
d’énergie est caractérisé par cette fréquence pondérée par le rapport de masse m/M
où m est la masse de l’électron et M la masse de la particule lourde considérée. La
relaxation hydrodynamique de la densité est décrite par une diffusion (2.9, 6.12) dont
le coéfficient est de l’ordre de l
2
n 1 (4.13) où l est le libre parcours moyen. Ainsi,
l
2
L 2 n 1
Position
m
M
n 1
Énergie
n 1
Direction
→
1
n
∂n
∂t
Transport
1
f
∂ f
∂t
Thermalisation
1
g
∂g
∂t
Isotropisation
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit