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9 • Collisions, relaxation et transport
En mécanique quantique les probabilités de transition sont proportionnelles aux carrés des éléments de matrices des hamiltoniens perturbateurs et, lorsque les états initiaux et finaux sont permutés, l’élément de matrice reste invariant car l’opérateur
hamiltonien est hermitique. Cette propriété de micro-réversibilité n’est pas restreinte
aux régime des perturbations mais résulte de l’unitarité de l’opérateur d’évolution.
En effet, si l’opérateur hamiltonien est hermitien, alors l’opérateur d’évolution, qui
est son exponentielle, est unitaire. L’unitarité est intimement liée à l’invariance par
renversement du temps donc à la micro-réversibilité. Le lecteur non initié à la signification de ce vocabulaire quantique savant se référera au simple bon sens pour accepter la généralité de la propriété (9.11). Sous cette hypothèse de micro-réversibilité
(9.11) les coefficients de friction dynamique et de diffusion (9.10) ne sont pas indépendants et vérifient une relation, dite relation d’Einstein. Afin de démontrer la relation d’Einstein considérons l’identité (9.11) et développons cette identité au premier
ordre en x : w (X + x ← X) = w (X − x ← X) + x·∂w (X − x ← X) /∂X. En
multipliant les deux membres de cette identité par x, puis, en intégrant sur les différentes valeurs possibles de x nous exprimons la valeur moyenne en fonction de la
valeur quadratique moyenne. D’une part, la valeur moyenne définissant le coefficient
de friction, peut être exprimée comme :
dx
dt
=
1
2
xw (X + x ← X) dx−
1
2
xw (X − x ← X) dx
=
1
2
xx·
∂w (X − x ← X)
∂X
dx
D’autre part, le coefficient de diffusion, dxdx /dt, est défini comme ce même
moment d’ordre deux en x (9.10) ; ainsi nous avons établi une relation générale
entre diffusion et friction dynamique, conséquence directe de la propriété de microréversibilité (9.11).
∂
∂X
·
dxdx
2dt
=
dx
dt
(9.12)
C’est la relation d’Einstein, cette relation permet de réécrire l’équation de
Fokker-Planck sous sa forme dite quasi-linéaire.
∂ F
∂t
=
∂
∂X
·
dxdx
2dt
·
∂ F
∂X
(9.13)
Cette forme n’est pas générale et demeure restreinte aux processus micro-réversibles.
Si le processus stochastique considéré est généré par plusieurs phénomènes physiques microscopiques de natures différentes dont certains sont microscopiquement
irréversibles, il peut subsister une friction dynamique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
En mécanique quantique les probabilités de transition sont proportionnelles aux carrés des éléments de matrices des hamiltoniens perturbateurs et, lorsque les états initiaux et finaux sont permutés, l’élément de matrice reste invariant car l’opérateur
hamiltonien est hermitique. Cette propriété de micro-réversibilité n’est pas restreinte
aux régime des perturbations mais résulte de l’unitarité de l’opérateur d’évolution.
En effet, si l’opérateur hamiltonien est hermitien, alors l’opérateur d’évolution, qui
est son exponentielle, est unitaire. L’unitarité est intimement liée à l’invariance par
renversement du temps donc à la micro-réversibilité. Le lecteur non initié à la signification de ce vocabulaire quantique savant se référera au simple bon sens pour accepter la généralité de la propriété (9.11). Sous cette hypothèse de micro-réversibilité
(9.11) les coefficients de friction dynamique et de diffusion (9.10) ne sont pas indépendants et vérifient une relation, dite relation d’Einstein. Afin de démontrer la relation d’Einstein considérons l’identité (9.11) et développons cette identité au premier
ordre en x : w (X + x ← X) = w (X − x ← X) + x·∂w (X − x ← X) /∂X. En
multipliant les deux membres de cette identité par x, puis, en intégrant sur les différentes valeurs possibles de x nous exprimons la valeur moyenne en fonction de la
valeur quadratique moyenne. D’une part, la valeur moyenne définissant le coefficient
de friction, peut être exprimée comme :
dx
dt
=
1
2
xw (X + x ← X) dx−
1
2
xw (X − x ← X) dx
=
1
2
xx·
∂w (X − x ← X)
∂X
dx
D’autre part, le coefficient de diffusion, dxdx /dt, est défini comme ce même
moment d’ordre deux en x (9.10) ; ainsi nous avons établi une relation générale
entre diffusion et friction dynamique, conséquence directe de la propriété de microréversibilité (9.11).
∂
∂X
·
dxdx
2dt
=
dx
dt
(9.12)
C’est la relation d’Einstein, cette relation permet de réécrire l’équation de
Fokker-Planck sous sa forme dite quasi-linéaire.
∂ F
∂t
=
∂
∂X
·
dxdx
2dt
·
∂ F
∂X
(9.13)
Cette forme n’est pas générale et demeure restreinte aux processus micro-réversibles.
Si le processus stochastique considéré est généré par plusieurs phénomènes physiques microscopiques de natures différentes dont certains sont microscopiquement
irréversibles, il peut subsister une friction dynamique.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit