9.1 Systèmes markoviens
319
Ce type d’équation est appelé équation de Fokker-Planck, nous l’avons déjà rencontré dans les chapitre précédents. L’équation de Fokker-Planck se retrouve dans tous
les domaines traitant de dynamique statistique : physique des aérosols, physique des
colloïdes, physique stellaire, épidémiologie, sociologie, modélisation financière....
Les coefficients de friction et de diffusion traduisent deux tendances complémentaires, une relaxation et une diffusion. En régime stationnaire, l’équilibre entre ces
deux tendances est à l’origine des distributions d’équilibres centrées et étalées telle
que celle représentée sur la figure 9.6.
X
F(X)
<δxδx>
–
δt
<δx>
–
δt
<δxδx>
–
δt
<δx>
–
δt
Diffusion
Relaxation
Figure 9.6 Équilibre dynamique entre friction et diffusion.
Nous avons, dans les chapitres précédents, déjà dérivé deux équations cinétiques du
type Fokker-Planck :
• l’équation de Vlasov, décrivant l’interaction champ-particules sur une échelle de
temps rapide en régime linéaire (6.1),
• l’équation dite quasi-linéaire, décrivant l’interaction onde-particules sur une
échelle de temps lente en régime non-linéaire (8.49, 8.45).
Dans ce chapitre nous dériverons deux équations modélisant l’évolution de la fonction de distribution des vitesses résultant de l’interaction particules-particules :
• l’équation de Landau, décrivant les collisions entre particules chargées (9.20),
• l’équation de la fonction de distribution en énergie (EEDF), décrivant les collisions entre particules chargées et neutres (9.28), parfois dénommée improprement
équation de Boltzmann.
La plupart des processus markoviens construits pour modéliser les phénomènes cinétiques dans les plasmas possèdent la propriété de micro-réversibilité qui s’énonce
simplement :
w (X + x ← X) = w (X ← X + x)
(9.11)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Ce type d’équation est appelé équation de Fokker-Planck, nous l’avons déjà rencontré dans les chapitre précédents. L’équation de Fokker-Planck se retrouve dans tous
les domaines traitant de dynamique statistique : physique des aérosols, physique des
colloïdes, physique stellaire, épidémiologie, sociologie, modélisation financière....
Les coefficients de friction et de diffusion traduisent deux tendances complémentaires, une relaxation et une diffusion. En régime stationnaire, l’équilibre entre ces
deux tendances est à l’origine des distributions d’équilibres centrées et étalées telle
que celle représentée sur la figure 9.6.
X
F(X)
<δxδx>
–
δt
<δx>
–
δt
<δxδx>
–
δt
<δx>
–
δt
Diffusion
Relaxation
Figure 9.6 Équilibre dynamique entre friction et diffusion.
Nous avons, dans les chapitres précédents, déjà dérivé deux équations cinétiques du
type Fokker-Planck :
• l’équation de Vlasov, décrivant l’interaction champ-particules sur une échelle de
temps rapide en régime linéaire (6.1),
• l’équation dite quasi-linéaire, décrivant l’interaction onde-particules sur une
échelle de temps lente en régime non-linéaire (8.49, 8.45).
Dans ce chapitre nous dériverons deux équations modélisant l’évolution de la fonction de distribution des vitesses résultant de l’interaction particules-particules :
• l’équation de Landau, décrivant les collisions entre particules chargées (9.20),
• l’équation de la fonction de distribution en énergie (EEDF), décrivant les collisions entre particules chargées et neutres (9.28), parfois dénommée improprement
équation de Boltzmann.
La plupart des processus markoviens construits pour modéliser les phénomènes cinétiques dans les plasmas possèdent la propriété de micro-réversibilité qui s’énonce
simplement :
w (X + x ← X) = w (X ← X + x)
(9.11)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit