318
9 • Collisions, relaxation et transport
w(X Y )
Y − X
0
Fokker-Planck
Boltzmann
Figure 9.5 Taux de transition, entre deux états X et Y.
Effectuons un développement de Taylor en x des taux de transition (dénommé développement de Kramers-Moyal) au deuxième ordre en x, au voisinage de l’état X.
w (X ← X + x) F (X + x) = w (X − x ← X) F (X)
+x·
∂
∂X
w (X − x ← X) F (X)
+
xx
2
·
∂
2
∂X∂X
w (X − x ← X) F (X)
Compte tenu de l’identité :
dx [w (X − x ← X) − w (X + x ← X)]
= −2
xdx
·∂w (X ← X) /∂X = 0,
l’équation de Boltzmann (9.8) peut alors s’exprimer comme une équation différentielle.
∂ F (X, t)
∂t
= −
∂
∂X
·
dx
dt
F (X, t) −
∂
∂X
·
dxdx
2dt
F (X, t)
(9.9)
Les coefficients de friction dynamique dx /dt et de diffusion dxdx /2dt sont
définis comme les moments d’ordre un et deux de la probabilité de transition par
unité de temps w.
dx
dt
= −
xw (X − x ← X) dx =
xw (X + x ← X) dx (9.10)
dxdx
dt
=
xxw (X − x ← X) dx =
xxw (X + x ← X) dx
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
w(X Y )
Y − X
0
Fokker-Planck
Boltzmann
Figure 9.5 Taux de transition, entre deux états X et Y.
Effectuons un développement de Taylor en x des taux de transition (dénommé développement de Kramers-Moyal) au deuxième ordre en x, au voisinage de l’état X.
w (X ← X + x) F (X + x) = w (X − x ← X) F (X)
+x·
∂
∂X
w (X − x ← X) F (X)
+
xx
2
·
∂
2
∂X∂X
w (X − x ← X) F (X)
Compte tenu de l’identité :
dx [w (X − x ← X) − w (X + x ← X)]
= −2
xdx
·∂w (X ← X) /∂X = 0,
l’équation de Boltzmann (9.8) peut alors s’exprimer comme une équation différentielle.
∂ F (X, t)
∂t
= −
∂
∂X
·
dx
dt
F (X, t) −
∂
∂X
·
dxdx
2dt
F (X, t)
(9.9)
Les coefficients de friction dynamique dx /dt et de diffusion dxdx /2dt sont
définis comme les moments d’ordre un et deux de la probabilité de transition par
unité de temps w.
dx
dt
= −
xw (X − x ← X) dx =
xw (X + x ← X) dx (9.10)
dxdx
dt
=
xxw (X − x ← X) dx =
xxw (X + x ← X) dx
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit