9.1 Systèmes markoviens
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v y
v x
v y
v x
w
w
w
w
w
Fokker-Planck
Boltzmann
Figure 9.4 Collisions aux grands et petits angles.
Ainsi, l’équation de Fokker-Planck constitue le cadre théorique adapté à
l’étude de la dynamique de la fonction de distribution des vitesses dans les
plasmas fortement ou faiblement ionisés, l’exception à cette règle étant le cas
de la distribution angulaire des vitesses dans les plasmas faiblement ionisés.
La fonction de distribution du module de la vitesse étant la quantité déterminant le
bilan d’énergie (et de charges, pour les électrons à travers l’ionisation par impact),
l’étude de la distribution angulaire n’est pertinente que dans un nombre très restreint
de cas. Nous allons donc nous consacrer à la construction des équations cinétiques de
type Fokker-Planck décrivant l’évolution de la fonction de distribution des vitesses
dans les plasmas faiblement et fortement ionisés.
Abordons ce problème dans un cadre général. Il est assez courant, en particulier dans
les études cinétiques des plasmas, de rencontrer des situations où le taux de transition
entre deux états X et Y, w (X ← Y), est une fonction centrée autour de l’état de
départ Y qui s’annule assez rapidement lorsque l’état d’arrivée X est éloigné de
l’état de départ Y (Figure 9.5).
Il est possible de tirer partie de cette propriété de localisation du taux de transition w
autour de l’état de départ.
Considérons pour cela l’équation de Boltzmann (9.7).
∂ F (X, t)
∂t
=
[w (X ← X + x) F (X + x, t) − w (X + x ← X) F (X, t)] dx
(9.8)
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