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9 • Collisions, relaxation et transport
X
w(X
Y)
Z
Y
Gains
F(X)
Pertes
w(Z
X)
Figure 9.3 Équation de Boltzmann : bilan gains/pertes en X.
9.1.3 Équation de Fokker-Planck
Lorsque la variable d’état X est la vitesse d’une particule, v = v sin u cos w
u x + v sin u sin w u y + v cos u u z , deux régimes de collisions doivent être considérés :
• les interactions particule-particule telles que la variation relative de vitesse dv/v
(ou les angles de diffusion du et dw) à l’issue d’une collision ne soit pas petite
devant 1 (ou p), on parle alors de grands transferts d’énergie et de collisions aux
grands angles (Figure 9.4).
• les interactions particule-particule telles que la variation relative dv/v de vitesse
(ou les angles de diffusion du et dw) à l’issue d’une collision soit petite devant
1 (ou p), on parle alors de petits transferts d’énergie et de collisions aux petits
angles ; dans ce deuxième régime l’orbite dans l’espace des vitesses peut être
considérée comme une succession continue d’états (Figure 9.4), mais la courbe
v (t) n’est pas nécessairement différentiable.
Lorsque les collisions aux grands angles sont dominantes, l’équation de Boltzmann
constitue un cadre adapté à l’étude de l’évolution de la fonction de distribution, c’est
le cas pour l’étude de la distribution angulaire de la vitesse des électrons en présence de collisions électrons-neutres dans les plasmas faiblement ionisés. Dans le
deuxième régime, lorsque les collisions aux petits angles sont dominantes, l’équation
de Boltzmann peut être réduite à une équation différentielle du type Fokker-Planck.
C’est le cas des collisions coulombiennes pour lesquelles les collisions telles que
dv/v et du sont petits devant 1 et p sont dominantes (4.15 et 4.19). Cest aussi le
cas pour les collisions électrons-neutres telles que dv/v ∼ m e /m n , où m e et m n sont
respectivement la masse de l’électron et la masse du neutre considéré.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
X
w(X
Y)
Z
Y
Gains
F(X)
Pertes
w(Z
X)
Figure 9.3 Équation de Boltzmann : bilan gains/pertes en X.
9.1.3 Équation de Fokker-Planck
Lorsque la variable d’état X est la vitesse d’une particule, v = v sin u cos w
u x + v sin u sin w u y + v cos u u z , deux régimes de collisions doivent être considérés :
• les interactions particule-particule telles que la variation relative de vitesse dv/v
(ou les angles de diffusion du et dw) à l’issue d’une collision ne soit pas petite
devant 1 (ou p), on parle alors de grands transferts d’énergie et de collisions aux
grands angles (Figure 9.4).
• les interactions particule-particule telles que la variation relative dv/v de vitesse
(ou les angles de diffusion du et dw) à l’issue d’une collision soit petite devant
1 (ou p), on parle alors de petits transferts d’énergie et de collisions aux petits
angles ; dans ce deuxième régime l’orbite dans l’espace des vitesses peut être
considérée comme une succession continue d’états (Figure 9.4), mais la courbe
v (t) n’est pas nécessairement différentiable.
Lorsque les collisions aux grands angles sont dominantes, l’équation de Boltzmann
constitue un cadre adapté à l’étude de l’évolution de la fonction de distribution, c’est
le cas pour l’étude de la distribution angulaire de la vitesse des électrons en présence de collisions électrons-neutres dans les plasmas faiblement ionisés. Dans le
deuxième régime, lorsque les collisions aux petits angles sont dominantes, l’équation
de Boltzmann peut être réduite à une équation différentielle du type Fokker-Planck.
C’est le cas des collisions coulombiennes pour lesquelles les collisions telles que
dv/v et du sont petits devant 1 et p sont dominantes (4.15 et 4.19). Cest aussi le
cas pour les collisions électrons-neutres telles que dv/v ∼ m e /m n , où m e et m n sont
respectivement la masse de l’électron et la masse du neutre considéré.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit