9.1 Systèmes markoviens
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Ensuite, l’équation de Chapman-Kolmogorov (9.4) et la définition de la probabilité
de transition par unité de temps (9.5) conduisent à une deuxième relation.
W (X ← X 0 , t + t) =
t→0
1 − t
w (Z ← Y) dZ
d (X − Y) W (Y ← X 0 , t) dY
+
tw (X ← Y) W (Y ← X 0 , t) dY
Par identification entre ces deux identités, la dérivée temporelle du propagateur peut
alors s’exprimer comme une somme sur l’ensemble des états Y, ces états étant des
états d’arrivée pour la partie négative de cette somme, et des états de départ pour la
partie positive.
∂W
∂t
=
W (Y ← X 0 , t) w (X ← Y) dY
Gains
−
W (X ← X 0 , t) w (Y ← X) dY
Pertes
Cette identité vaut aussi pour la densité de probabilité, le premier terme du membre
de gauche s’interprète comme un gain, depuis tous les états Y transitant vers X
durant un temps court, et le deuxième terme s’interprète comme une perte, due à
toutes les transitions depuis X vers l’un quelconque des états Y durant une durée
infinitésimale (Figure 9.3).
∂ F (X, t)
∂t
=
w (X ← Y) F (Y, t) dY −
w (Y ← X) F (X, t) dY (9.7)
Dans le contexte de la physique des plasmas, lorsque le taux de transition est collisionnel et s’exprime en fonction de la section efficace de diffusion suivant la relation
(9.6), cette équation est dénommée équation de Boltzmann ; on notera un abus de
langage courant en physique des plasmas qui consiste à appeler équation de Boltzmann toute équation cinétique (Vlasov, Landau, EEDF...) dans l’espace des vitesse,
nous ne pratiquerons pas cet abus qui conduit à de fréquentes confusions.
La figure 9.3 illustre la signification statistique de cette équation fondamentale ; le
nombre moyen de particules dans l’état X résulte d’un bilan entre des processus
de gains et des processus de pertes, les gains provenant des états Y et les pertes
s’écoulant vers les états Z.
Ces gains et pertes doivent être sommés sur l’ensemble des états Y et Z pondérés
par le taux de gain ou de perte par unité de temps décrit par w. Dans le cas des
collisions (9.6) l’hypothèse validant cette équation cinétique est la prédominance des
interactions à deux particules par rapport aux collisions à trois corps ou plus. Cette
hypothèse est particulièrement bien adaptée aux milieux dilués tels que les plasmas
classiques.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Ensuite, l’équation de Chapman-Kolmogorov (9.4) et la définition de la probabilité
de transition par unité de temps (9.5) conduisent à une deuxième relation.
W (X ← X 0 , t + t) =
t→0
1 − t
w (Z ← Y) dZ
d (X − Y) W (Y ← X 0 , t) dY
+
tw (X ← Y) W (Y ← X 0 , t) dY
Par identification entre ces deux identités, la dérivée temporelle du propagateur peut
alors s’exprimer comme une somme sur l’ensemble des états Y, ces états étant des
états d’arrivée pour la partie négative de cette somme, et des états de départ pour la
partie positive.
∂W
∂t
=
W (Y ← X 0 , t) w (X ← Y) dY
Gains
−
W (X ← X 0 , t) w (Y ← X) dY
Pertes
Cette identité vaut aussi pour la densité de probabilité, le premier terme du membre
de gauche s’interprète comme un gain, depuis tous les états Y transitant vers X
durant un temps court, et le deuxième terme s’interprète comme une perte, due à
toutes les transitions depuis X vers l’un quelconque des états Y durant une durée
infinitésimale (Figure 9.3).
∂ F (X, t)
∂t
=
w (X ← Y) F (Y, t) dY −
w (Y ← X) F (X, t) dY (9.7)
Dans le contexte de la physique des plasmas, lorsque le taux de transition est collisionnel et s’exprime en fonction de la section efficace de diffusion suivant la relation
(9.6), cette équation est dénommée équation de Boltzmann ; on notera un abus de
langage courant en physique des plasmas qui consiste à appeler équation de Boltzmann toute équation cinétique (Vlasov, Landau, EEDF...) dans l’espace des vitesse,
nous ne pratiquerons pas cet abus qui conduit à de fréquentes confusions.
La figure 9.3 illustre la signification statistique de cette équation fondamentale ; le
nombre moyen de particules dans l’état X résulte d’un bilan entre des processus
de gains et des processus de pertes, les gains provenant des états Y et les pertes
s’écoulant vers les états Z.
Ces gains et pertes doivent être sommés sur l’ensemble des états Y et Z pondérés
par le taux de gain ou de perte par unité de temps décrit par w. Dans le cas des
collisions (9.6) l’hypothèse validant cette équation cinétique est la prédominance des
interactions à deux particules par rapport aux collisions à trois corps ou plus. Cette
hypothèse est particulièrement bien adaptée aux milieux dilués tels que les plasmas
classiques.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit