314
9 • Collisions, relaxation et transport
Aux petits temps, t → 0, la probabilité de transition W (X ← X 0 , t) est la somme
d’une probabilité d’attente et d’une probabilité de transition proportionnelle à t.
W (X ← X 0 , t) = d (X − X 0 ) −td (X − X 0 )
w (X ← X 0 ) dX
Attente
+ t w (X ← X 0 )
Transition
(9.5)
Nous avons utilisé la normalisation de la probabilité de transition (9.2) et l’identité
(9.3) pour établir ce développement aux petits temps qui définit ainsi la probabilité de
transition par unité de temps w ; w est une densité de probabilité de taux de transition
ayant la dimension de l’inverse d’un temps et de l’inverse de la dimension des états.
C’est cette quantité qui doit être identifiée et étudiée au niveau microscopique pour
construire une description cinétique.
Nous verrons, dans les chapitres suivants, que le passage d’une description déterministe vers une description stochastique nécessite l’évaluation de cette probabilité de
transition par unité de temps w. Par exemple, le taux de transition entre deux états
quantiques, |A et |B, sous l’effet d’un hamiltonien perturbateur V , est donné par la
règle d’or de Fermi :
w ( A←B) ∼
2p
|| A |V | B|
2
.
De même, pour un système de particules classiques en présence de collisions élastiques, l’évolution de la fonction de distribution des vitesses F (v, t) est décrite par
la probabilités de transition w par unité de temps déterminée par la section efficace
ds/dV (4.4).
w
V
, v
← V, v
∼ n c
g (v c )
ds
dV
d
V
−V
d
v − v
4pv
dv c
(9.6)
où V (v, v c ) et v (v, v c ) sont la vitesse du centre de masse et la vitesse relative, avant
le choc, et V
et v
ces mêmes vitesses, après le choc (9.14) ; g (v c ) est la fonction
de distribution des vitesses de la population cible et n c sa densité.
Pour établir une équation différentielle régissant l’évolution temporelle de la densité de probabilité F (X, t), c’est-à-dire pour construire un bilan entre deux instants,
nous allons exprimer de deux façons différentes le développement aux petit temps
du propagateur W . Un simple développement de Taylor permet d’établir l’identité :
W (X ← X 0 , t + t) =
t→0
W (X ← X 0 , t) + t
∂W (X ← X 0 , t)
∂t
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
9 • Collisions, relaxation et transport
Aux petits temps, t → 0, la probabilité de transition W (X ← X 0 , t) est la somme
d’une probabilité d’attente et d’une probabilité de transition proportionnelle à t.
W (X ← X 0 , t) = d (X − X 0 ) −td (X − X 0 )
w (X ← X 0 ) dX
Attente
+ t w (X ← X 0 )
Transition
(9.5)
Nous avons utilisé la normalisation de la probabilité de transition (9.2) et l’identité
(9.3) pour établir ce développement aux petits temps qui définit ainsi la probabilité de
transition par unité de temps w ; w est une densité de probabilité de taux de transition
ayant la dimension de l’inverse d’un temps et de l’inverse de la dimension des états.
C’est cette quantité qui doit être identifiée et étudiée au niveau microscopique pour
construire une description cinétique.
Nous verrons, dans les chapitres suivants, que le passage d’une description déterministe vers une description stochastique nécessite l’évaluation de cette probabilité de
transition par unité de temps w. Par exemple, le taux de transition entre deux états
quantiques, |A et |B, sous l’effet d’un hamiltonien perturbateur V , est donné par la
règle d’or de Fermi :
w ( A←B) ∼
2p
|| A |V | B|
2
.
De même, pour un système de particules classiques en présence de collisions élastiques, l’évolution de la fonction de distribution des vitesses F (v, t) est décrite par
la probabilités de transition w par unité de temps déterminée par la section efficace
ds/dV (4.4).
w
V
, v
← V, v
∼ n c
g (v c )
ds
dV
d
V
−V
d
v − v
4pv
dv c
(9.6)
où V (v, v c ) et v (v, v c ) sont la vitesse du centre de masse et la vitesse relative, avant
le choc, et V
et v
ces mêmes vitesses, après le choc (9.14) ; g (v c ) est la fonction
de distribution des vitesses de la population cible et n c sa densité.
Pour établir une équation différentielle régissant l’évolution temporelle de la densité de probabilité F (X, t), c’est-à-dire pour construire un bilan entre deux instants,
nous allons exprimer de deux façons différentes le développement aux petit temps
du propagateur W . Un simple développement de Taylor permet d’établir l’identité :
W (X ← X 0 , t + t) =
t→0
W (X ← X 0 , t) + t
∂W (X ← X 0 , t)
∂t
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit