9.1 Systèmes markoviens
313
La probabilité pour que le système soit dans l’état X à l’instant t, sachant qu’il était
dans l’état X 0 à l’instant t 0 , est égale à la somme des probabilités : (i) qu’il soit dans
l’état X à l’instant t, (ii) qu’il fût dans l’état X 1 à l’instant t 1 , et (iii) dans l’état
X 0 à l’instant t 0 , la somme étant prise sur tous les états intermédiaires X 1 . Cette
sommation sur tous les états intermédiaires X 1 possibles se traduit par l’équation de
Chapman-Kolmogorov :
W (X, t ← X 0 , t 0 ) =
W (X, t ← X 1 , t 1 ) W (X 1 , t 1 ← X 0 , t 0 ) dX 1
(9.4)
Cette propriété est illustréé par la figure 9.2.
En physique des plasmas, les processus stochastiques markoviens sont homogènes :
la probabilité de transition W entre deux instants t 0 et t n’est fonction que de la durée
|t − t 0 | entre ces deux instants et non des instants eux mêmes.
t
t 1
t 0
X 0
dX 1
X
Figure 9.2 Équation de Chapman-Kolmogorov.
En termes formels, c’est une hypothèse d’invariance par translation dans le temps :
W (X, t ← X 0 , t 0 ) = W
X ← X 0 , |t − t 0 |
. Dans toute la suite de ce cours les processus markoviens seront supposés homogènes.
9.1.2 Équation de Boltzmann
Le développement aux petits temps, t = |t − t 0 | → 0, de la probabilité de transition
W permet d’étudier les propriétés locales de la dynamique et d’établir ainsi une équation différentielle équivalente à l’équation de Chapman-Kolmogorov, appelée master
equation de façon générique. Dans le contexte de la théorie cinétique des plasmas, si
X est la variable de vitesse, cette équation n’est autre que l’équation de Boltzmann.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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La probabilité pour que le système soit dans l’état X à l’instant t, sachant qu’il était
dans l’état X 0 à l’instant t 0 , est égale à la somme des probabilités : (i) qu’il soit dans
l’état X à l’instant t, (ii) qu’il fût dans l’état X 1 à l’instant t 1 , et (iii) dans l’état
X 0 à l’instant t 0 , la somme étant prise sur tous les états intermédiaires X 1 . Cette
sommation sur tous les états intermédiaires X 1 possibles se traduit par l’équation de
Chapman-Kolmogorov :
W (X, t ← X 0 , t 0 ) =
W (X, t ← X 1 , t 1 ) W (X 1 , t 1 ← X 0 , t 0 ) dX 1
(9.4)
Cette propriété est illustréé par la figure 9.2.
En physique des plasmas, les processus stochastiques markoviens sont homogènes :
la probabilité de transition W entre deux instants t 0 et t n’est fonction que de la durée
|t − t 0 | entre ces deux instants et non des instants eux mêmes.
t
t 1
t 0
X 0
dX 1
X
Figure 9.2 Équation de Chapman-Kolmogorov.
En termes formels, c’est une hypothèse d’invariance par translation dans le temps :
W (X, t ← X 0 , t 0 ) = W
X ← X 0 , |t − t 0 |
. Dans toute la suite de ce cours les processus markoviens seront supposés homogènes.
9.1.2 Équation de Boltzmann
Le développement aux petits temps, t = |t − t 0 | → 0, de la probabilité de transition
W permet d’étudier les propriétés locales de la dynamique et d’établir ainsi une équation différentielle équivalente à l’équation de Chapman-Kolmogorov, appelée master
equation de façon générique. Dans le contexte de la théorie cinétique des plasmas, si
X est la variable de vitesse, cette équation n’est autre que l’équation de Boltzmann.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit