9.1 Systèmes markoviens
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modélisation de l’influence du passé sur le comportement présent pour les systèmes
réels conduit à des équations complexes qui se simplifient dans les deux cas limites
de l’absence totale de mémoire ou de sa présence déterminante. Ces deux limites
asymptotiques ont donc été particulièrement étudiées et utilisées en physique.
• Un système dont le présent permet de reconstruire entièrement le passé et dont le
passé détermine totalement le présent est déterministe ; les systèmes hamiltoniens,
qui seront étudiés dans le dernier chapitre, constituent une classe de modèles déterministes de tel systèmes à mémoire forte très utilisés en physique.
• Un système dont l’évolution présente est indépendante de son histoire passée est
dit markovien, le paragraphe qui suit rappelle les principaux résultats de la théorie
des systèmes markoviens, ils seront utilisés pour l’étude des modèles cinétiques
des plasmas.
L’évolution d’un système déterministe à forte mémoire, tel qu’un système hamiltonien, est décrite par une orbite dans un espace d’état, c’est-à-dire par une succession
temporelle, ordonnée, d’états passés, présent et futurs. À l’opposé, l’évolution d’un
système dynamique aléatoire à mémoire faible, est décrite par une densité de probabilité F (X, t). F (X, t) dX mesure la probabilité d’observer ce système à l’instant t
dans un voisinage dX de l’état X.
La théorie des processus stochastiques a pour objectif de construire un certains
nombre de méthodes et d’établir un ensemble de résultats permettant de calculer
cette densité de probabilité F (X, t) à un instant t, à partir de la connaissance de
cette densité à un instant antérieur t 0 .
Pour ce faire, la théorie des processus stochastiques est construite à partir de la
probabilité conditionnelle, W (X n , t n ... ← X 1 , t 1 ← X 0 , t 0 ), décrivant les effets de
mémoire faible : W (X n , t n ... ← X 1 , t 1 ← X 0 , t 0 ) dX n ...dX 1 mesure la probabilité
pour que le système initialement dans l’état X 0 à t 0 soit observé dans l’état X 1 à t 1
dans un voisinage dX 1 , dans l’état X 2 à t 2 dans un voisinage dX 2 ... et dans l’état
X n , dans un voisinage dX n , à l’instant final t n .
Par définition, un système est markovien si cette probabilité conditionnelle ne fait
intervenir que le dernier état considéré :
W (X n , t n ..... ← X 1 , t 1 ← X 0 , t 0 ) ≡ W (X n , t n ← X n−1 , t n−1 ) .
Ainsi, nous avons défini un système markovien comme un système à mémoire très
courte, complémentaire des systèmes hamiltoniens.
En physique des plasmas, selon l’ordering entre les échelles de temps de l’évolution du système et de son observation, nous utiliserons soit une modélisation
hamiltonienne, soit une modélisation markovienne.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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modélisation de l’influence du passé sur le comportement présent pour les systèmes
réels conduit à des équations complexes qui se simplifient dans les deux cas limites
de l’absence totale de mémoire ou de sa présence déterminante. Ces deux limites
asymptotiques ont donc été particulièrement étudiées et utilisées en physique.
• Un système dont le présent permet de reconstruire entièrement le passé et dont le
passé détermine totalement le présent est déterministe ; les systèmes hamiltoniens,
qui seront étudiés dans le dernier chapitre, constituent une classe de modèles déterministes de tel systèmes à mémoire forte très utilisés en physique.
• Un système dont l’évolution présente est indépendante de son histoire passée est
dit markovien, le paragraphe qui suit rappelle les principaux résultats de la théorie
des systèmes markoviens, ils seront utilisés pour l’étude des modèles cinétiques
des plasmas.
L’évolution d’un système déterministe à forte mémoire, tel qu’un système hamiltonien, est décrite par une orbite dans un espace d’état, c’est-à-dire par une succession
temporelle, ordonnée, d’états passés, présent et futurs. À l’opposé, l’évolution d’un
système dynamique aléatoire à mémoire faible, est décrite par une densité de probabilité F (X, t). F (X, t) dX mesure la probabilité d’observer ce système à l’instant t
dans un voisinage dX de l’état X.
La théorie des processus stochastiques a pour objectif de construire un certains
nombre de méthodes et d’établir un ensemble de résultats permettant de calculer
cette densité de probabilité F (X, t) à un instant t, à partir de la connaissance de
cette densité à un instant antérieur t 0 .
Pour ce faire, la théorie des processus stochastiques est construite à partir de la
probabilité conditionnelle, W (X n , t n ... ← X 1 , t 1 ← X 0 , t 0 ), décrivant les effets de
mémoire faible : W (X n , t n ... ← X 1 , t 1 ← X 0 , t 0 ) dX n ...dX 1 mesure la probabilité
pour que le système initialement dans l’état X 0 à t 0 soit observé dans l’état X 1 à t 1
dans un voisinage dX 1 , dans l’état X 2 à t 2 dans un voisinage dX 2 ... et dans l’état
X n , dans un voisinage dX n , à l’instant final t n .
Par définition, un système est markovien si cette probabilité conditionnelle ne fait
intervenir que le dernier état considéré :
W (X n , t n ..... ← X 1 , t 1 ← X 0 , t 0 ) ≡ W (X n , t n ← X n−1 , t n−1 ) .
Ainsi, nous avons défini un système markovien comme un système à mémoire très
courte, complémentaire des systèmes hamiltoniens.
En physique des plasmas, selon l’ordering entre les échelles de temps de l’évolution du système et de son observation, nous utiliserons soit une modélisation
hamiltonienne, soit une modélisation markovienne.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit