304
8 • Ondes, oscillations et résonances
La solution de cette équation différentielle linéaire avec second membre est la somme
de la solution générale de l’équation sans second membre plus une solution particulière de l’équation avec second membre :
Z(t) = a 0 exp
− jv p t + jw 0
− jE exp
− jv p t
t
0
exp
jv p u
cos (vu) du.
Z(t) ≈ a 0 exp
− jv p t + jw 0
−
E
2
exp (− jvt) − exp
− jv p t
v p − v
Dans la deuxième identité nous avons négligé les termes non résonnants car v ≈ v p .
L’énergie ´ stockée dans l’oscillation plasmon est définie par : 2´ = mZZ
∗ . L’incrément d’énergie d´ absorbée durant un instant dt par les plasmons est donc donné
par : d´ (´, dt) = mZ (dt) Z
∗ (dt) /2 − mZ (0) Z
∗ (0) /2.
d´ (´, dt) ≈
ma 0 E
v p − v
sin
v − v p
2
dt + w 0
sin
v − v p
2
dt
Nous avons négligé les termes quadratiques en E
2 puis utilisé la relation :
cos a − cos b = −2 sin
a + b/2
sin
a − b/2
; seule la moyenne sur la phase
initiale de l’oscillation w 0 possède une signification physique car cette phase w 0 est
distribuée uniformement.
d´
2
w0
= mE
2
´
sin
2
(v−vp)
2
dt
v p − v
2
Dans le plan des positions et vitesses de l’oscillateur plasmon
√ ´ constitue une coordonnée radiale, aussi nous considérons l’incrément d
√ ´ = d´/2
√
´ et le coefficient
de diffusion
d
√ ´d
√ ´
/2dt. Pour les temps dt longs devant l’échelle caractéristique de l’excitation et de l’oscillateur (v
−1 ) la limite 2´ sin
2
x/2´
/x
2
→ pd (x)
est légitime.
d
√
´d
√ ´
2dt
=
p
16
q
2 E
2
m
d
v p (x 0 ) − v
Une description cinétique de l’excitation des oscillations dans un plasma inhomogène s’articule autour de l’étude de la fonction de distribution F
√
´, x 0 , t
mesurant la densité de probabilité qu’une oscillation de la tranche centrée au repos sur x 0
possède l’énergie ´ à l’instant t ; F est une densité de probabilité et la probabilité
est donnée par le produit F
√ ´, x 0 , t
√ ´d
√ ´dx 0 . Cette densité de probabilité est
factorisable :
F
√ ´, x 0 , t
= f
√ ´, t
n (x 0 )
et normalisée :
+∞
0
f
√
´, t
√ ´d
√ ´ = 1,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
8 • Ondes, oscillations et résonances
La solution de cette équation différentielle linéaire avec second membre est la somme
de la solution générale de l’équation sans second membre plus une solution particulière de l’équation avec second membre :
Z(t) = a 0 exp
− jv p t + jw 0
− jE exp
− jv p t
t
0
exp
jv p u
cos (vu) du.
Z(t) ≈ a 0 exp
− jv p t + jw 0
−
E
2
exp (− jvt) − exp
− jv p t
v p − v
Dans la deuxième identité nous avons négligé les termes non résonnants car v ≈ v p .
L’énergie ´ stockée dans l’oscillation plasmon est définie par : 2´ = mZZ
∗ . L’incrément d’énergie d´ absorbée durant un instant dt par les plasmons est donc donné
par : d´ (´, dt) = mZ (dt) Z
∗ (dt) /2 − mZ (0) Z
∗ (0) /2.
d´ (´, dt) ≈
ma 0 E
v p − v
sin
v − v p
2
dt + w 0
sin
v − v p
2
dt
Nous avons négligé les termes quadratiques en E
2 puis utilisé la relation :
cos a − cos b = −2 sin
a + b/2
sin
a − b/2
; seule la moyenne sur la phase
initiale de l’oscillation w 0 possède une signification physique car cette phase w 0 est
distribuée uniformement.
d´
2
w0
= mE
2
´
sin
2
(v−vp)
2
dt
v p − v
2
Dans le plan des positions et vitesses de l’oscillateur plasmon
√ ´ constitue une coordonnée radiale, aussi nous considérons l’incrément d
√ ´ = d´/2
√
´ et le coefficient
de diffusion
d
√ ´d
√ ´
/2dt. Pour les temps dt longs devant l’échelle caractéristique de l’excitation et de l’oscillateur (v
−1 ) la limite 2´ sin
2
x/2´
/x
2
→ pd (x)
est légitime.
d
√
´d
√ ´
2dt
=
p
16
q
2 E
2
m
d
v p (x 0 ) − v
Une description cinétique de l’excitation des oscillations dans un plasma inhomogène s’articule autour de l’étude de la fonction de distribution F
√
´, x 0 , t
mesurant la densité de probabilité qu’une oscillation de la tranche centrée au repos sur x 0
possède l’énergie ´ à l’instant t ; F est une densité de probabilité et la probabilité
est donnée par le produit F
√ ´, x 0 , t
√ ´d
√ ´dx 0 . Cette densité de probabilité est
factorisable :
F
√ ´, x 0 , t
= f
√ ´, t
n (x 0 )
et normalisée :
+∞
0
f
√
´, t
√ ´d
√ ´ = 1,
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit