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8 • Ondes, oscillations et résonances
La puissance transférée de l’onde vers la particule, par unité de volume, est donnée
par :
w
W
m 3
= n
∂
∂t
+∞
−∞
m
2
v
2 f (v) 4pv
2 dv
= −nm
+∞
−∞
v
dvdv x0
2dt
∂ f
∂v
4pv
2 dv
La probabilité qu’un électron ne subisse aucune collision durant un temps t et subisse
une collision à l’issue de ce temps t, durant l’intervalle dt, est donnée par (2.2) :
d P (t) /dt = n 1 exp (−n 1 t) où n 1 (v) = n n vs 1 (v) est la fréquence de transfert
d’impulsion (4.12). L’équation de Newton en présence de collisions devient donc :
dv/dt = −qE sin (vt) +
n
d (t − t n ) dv n , où t n sont les instants (aléatoires) de
collisions (Figure 8.17). Afin de calculer le coefficient de diffusion dvdv /2dt étudions la dynamique d’un électron entre les instants t 0 et t en l’absence de collision,
supposons que l’électron vient juste de subir une collision à l’instant t 0 et possède
après cette collision la vitesse v (t 0 ). En l’absence de collision la vitesse à un instant
ultérieur t est donc donnée par :
v (t) = v (t 0 ) +
q
mv
E [cos (vt) − cos (vt 0 )]
On introduit l’incrément de vitesse : dv (t, t 0 ) = v (t) − v (t 0 ), compte tenu de l’identité : cos a − cos b = −2 sin
a + b/2
sin
a − b/2
, l’incrément de vitesse entre
deux collisions s’exprime donc comme :
dv =
2q
mv
E sin
v
t
2
sin
v
t
2
+ t 0
où t = t − t 0 . La moyenne de cet incrément sur le temps t 0 , uniformement distribué,
est nulle : dv t0 = 0 ; par contre, la moyenne de son carré, prise sur l’instant de la
dernière collision t 0 , dv ·dv t0 , est non nulle et ce dernier résultat pris en moyenne
sur la durée entre deux collisions, dv ·dv t,t0 , avec la distribution de probabilité
n 1 exp (−n 1 t) :
dv ·dv t0 =
2q
2 E
2
m 2 v 2
sin
v
t
2
2 →
dv ·dv t,t0
dt
=
2q
2 E
2
m 2 v 2
+∞
0
exp (−n 1 t)
sin
v
t
2
2
dt
+∞
0
t exp (−n 1 t) dt
permet d’évaluer l’incrément moyen d’énergie pendant une durée mésoscopique.
Ainsi le coefficient de diffusion dvdv = dv ·dv /3 peut être calculé et le résultat
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
8 • Ondes, oscillations et résonances
La puissance transférée de l’onde vers la particule, par unité de volume, est donnée
par :
w
W
m 3
= n
∂
∂t
+∞
−∞
m
2
v
2 f (v) 4pv
2 dv
= −nm
+∞
−∞
v
dvdv x0
2dt
∂ f
∂v
4pv
2 dv
La probabilité qu’un électron ne subisse aucune collision durant un temps t et subisse
une collision à l’issue de ce temps t, durant l’intervalle dt, est donnée par (2.2) :
d P (t) /dt = n 1 exp (−n 1 t) où n 1 (v) = n n vs 1 (v) est la fréquence de transfert
d’impulsion (4.12). L’équation de Newton en présence de collisions devient donc :
dv/dt = −qE sin (vt) +
n
d (t − t n ) dv n , où t n sont les instants (aléatoires) de
collisions (Figure 8.17). Afin de calculer le coefficient de diffusion dvdv /2dt étudions la dynamique d’un électron entre les instants t 0 et t en l’absence de collision,
supposons que l’électron vient juste de subir une collision à l’instant t 0 et possède
après cette collision la vitesse v (t 0 ). En l’absence de collision la vitesse à un instant
ultérieur t est donc donnée par :
v (t) = v (t 0 ) +
q
mv
E [cos (vt) − cos (vt 0 )]
On introduit l’incrément de vitesse : dv (t, t 0 ) = v (t) − v (t 0 ), compte tenu de l’identité : cos a − cos b = −2 sin
a + b/2
sin
a − b/2
, l’incrément de vitesse entre
deux collisions s’exprime donc comme :
dv =
2q
mv
E sin
v
t
2
sin
v
t
2
+ t 0
où t = t − t 0 . La moyenne de cet incrément sur le temps t 0 , uniformement distribué,
est nulle : dv t0 = 0 ; par contre, la moyenne de son carré, prise sur l’instant de la
dernière collision t 0 , dv ·dv t0 , est non nulle et ce dernier résultat pris en moyenne
sur la durée entre deux collisions, dv ·dv t,t0 , avec la distribution de probabilité
n 1 exp (−n 1 t) :
dv ·dv t0 =
2q
2 E
2
m 2 v 2
sin
v
t
2
2 →
dv ·dv t,t0
dt
=
2q
2 E
2
m 2 v 2
+∞
0
exp (−n 1 t)
sin
v
t
2
2
dt
+∞
0
t exp (−n 1 t) dt
permet d’évaluer l’incrément moyen d’énergie pendant une durée mésoscopique.
Ainsi le coefficient de diffusion dvdv = dv ·dv /3 peut être calculé et le résultat
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit