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8 • Ondes, oscillations et résonances
Pour les temps longs devant l’échelle caractéristique de l’onde (v
−1 ) la limite
2´ sin
2
x/2´
/x
2
→ pd (x) est légitime, remarquons que, ici aussi, nous supposons l’existence d’une échelle de temps mésoscopique grande à l’échelle
microscopique mais petite à l’échelle de l’évolution de f (v, t), comme ce fut le cas
lors de la construction de l’équation de mobilité-diffusion dans le chapitre deux. Le
résultat final est donc donné par la formule classique due à Landau.
dv
2
2dt
=
p
2
q
2 k
2
m 2 f
2
d (kv − v)
(8.47)
Cependant, une question demeure, comment se fait-il qu’en l’absence de processus
dissipatifs ce mécanisme d’absorption (emission) soit opérationnel ?
La réponse est illustrée par la figure 8.16, dans un diagramme d’espace-temps nous
avons tracé les trajectoires de deux particules de même vitesse initiale, mais de positions initiales différentes. Les zones du maximum du champ sont représentées par
les bandes grises ou le sens du champ est aussi indiqué. Deux types de trajectoires
peuvent être considérées.
• Si kv − v 0 ou kv − v 0, on voit que la particule rencontrera sur son trajet
des zones d’accélération et de décélération avec une probabilité égale, il n’y a
donc pas de transfert résonnant, ces particules interagissent avec l’onde en régime
adiabatique et elles ne participent pas au processus d’absorption (d’émission).
• Si kv − v ≈ 0, alors, comme le montre la figure 8.16, les particules et l’onde
sont en synchronisme : chaque particule voyage avec une zone d’accélération ou
une zone de décélération du champ, ainsi, pour ces particules, dites résonnantes,
le transfert de puissance est significatif, mais il peut être positif ou négatif lorsque
l’on moyenne sur x 0 . Le signe de kv − v détermine le signe du transfert moyen ;
une analyse de la relation (8.46), basée sur une deuxième intégration par partie :
w = −n
p
2
q
2 E
2
v
mk 2
∂ f
∂v
v
k
(8.48)
démontre que les particules telles que kv−v 0 donnent en moyenne leur énergie
au champ et que les particules telles que kv −v 0 absorbent l’énergie du champ.
Une fonction de distribution des vitesses monotone décroissante constitue donc un
milieu dissipatif en l’absence de collision.
8.3.2 Bremsstrahlung inverse
Lorsqu’un électron est soumis à l’influence d’un champ électrique oscillant
−E sin (vt) et subit, en même temps, des collisions avec d’autres espèces, il se
produit aussi un transfert irréversible d’énergie du champ vers l’électron, c’est le
processus de bremsstrahlung inverse.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
8 • Ondes, oscillations et résonances
Pour les temps longs devant l’échelle caractéristique de l’onde (v
−1 ) la limite
2´ sin
2
x/2´
/x
2
→ pd (x) est légitime, remarquons que, ici aussi, nous supposons l’existence d’une échelle de temps mésoscopique grande à l’échelle
microscopique mais petite à l’échelle de l’évolution de f (v, t), comme ce fut le cas
lors de la construction de l’équation de mobilité-diffusion dans le chapitre deux. Le
résultat final est donc donné par la formule classique due à Landau.
dv
2
2dt
=
p
2
q
2 k
2
m 2 f
2
d (kv − v)
(8.47)
Cependant, une question demeure, comment se fait-il qu’en l’absence de processus
dissipatifs ce mécanisme d’absorption (emission) soit opérationnel ?
La réponse est illustrée par la figure 8.16, dans un diagramme d’espace-temps nous
avons tracé les trajectoires de deux particules de même vitesse initiale, mais de positions initiales différentes. Les zones du maximum du champ sont représentées par
les bandes grises ou le sens du champ est aussi indiqué. Deux types de trajectoires
peuvent être considérées.
• Si kv − v 0 ou kv − v 0, on voit que la particule rencontrera sur son trajet
des zones d’accélération et de décélération avec une probabilité égale, il n’y a
donc pas de transfert résonnant, ces particules interagissent avec l’onde en régime
adiabatique et elles ne participent pas au processus d’absorption (d’émission).
• Si kv − v ≈ 0, alors, comme le montre la figure 8.16, les particules et l’onde
sont en synchronisme : chaque particule voyage avec une zone d’accélération ou
une zone de décélération du champ, ainsi, pour ces particules, dites résonnantes,
le transfert de puissance est significatif, mais il peut être positif ou négatif lorsque
l’on moyenne sur x 0 . Le signe de kv − v détermine le signe du transfert moyen ;
une analyse de la relation (8.46), basée sur une deuxième intégration par partie :
w = −n
p
2
q
2 E
2
v
mk 2
∂ f
∂v
v
k
(8.48)
démontre que les particules telles que kv−v 0 donnent en moyenne leur énergie
au champ et que les particules telles que kv −v 0 absorbent l’énergie du champ.
Une fonction de distribution des vitesses monotone décroissante constitue donc un
milieu dissipatif en l’absence de collision.
8.3.2 Bremsstrahlung inverse
Lorsqu’un électron est soumis à l’influence d’un champ électrique oscillant
−E sin (vt) et subit, en même temps, des collisions avec d’autres espèces, il se
produit aussi un transfert irréversible d’énergie du champ vers l’électron, c’est le
processus de bremsstrahlung inverse.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit