8.3 Irréversibilité et non-linéarités
299
l’onde : v = v
+ v/k = v
+ 1 et considérons une particule de conditions initiales
à t = 0 : v
0 = v 0 − 1, x
0 = x 0 . À un instant ultérieur dt, sa vitesse et sa position
deviennent : v
= v − 1 et x
≈ x
0 + v
0 dt. L’énergie mécanique totale est conservée :
v
2 + 2f cos x
= v
2
0 + 2f cos x
0 →
v
− v
0
v
+ v
0
= −2f
cos x
− cos x
0
.
x
t
2π
–
ω
φcos(kx-ωt)
2π
–
k
Figure 8.16 Synchronisme onde-particule et absorption Landau.
Compte tenu de l’identité cos a − cos b = −2 sin
a + b/2
sin
a − b/2
, l’incrément de vitesse dv
= v
− v
0 peut être exprimé comme :
dv
= v
− v
0 =
2f
v
0
sin
v
0 dt
2
+ x
0
sin
v
0 dt
2
Dans le repère du laboratoire nous obtenons donc l’expression :
dv (v 0 , dt) = −
2f
v 0 − 1
sin
(v 0 − 1) dt
2
+ x 0
sin
(v 0 − 1) dt
2
Toutes les positions initiales x 0 étant équiprobables, la valeur moyenne est donc
nulle :
2p dv (v 0 ) x0 =
2p
0
dvdx 0 = 0
par contre, la valeur moyenne du carré de l’incrément de vitesse est non nulle.
dv
2 (v 0 )
x0
=
1
2p
2p
0
dv
2 dx 0 =
2f
2
(v 0 − 1)
2
sin
2
(v 0 − 1) dt
2
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