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8 • Ondes, oscillations et résonances
chargée de masse m et de charge q. L’équation de Newton pour cette particule est
alors non-linéaire.
dv
dt
= −
q
m
d
dx
f cos (kx − vt + w) ,
dx
dt
= v
La phase relative initiale entre l’onde est la particule (kx 0 − vt 0 + w) n’est pas
un paramètre de contrôle du problème, à un instant donné, dans un plasma,
certaines particules se trouvent dans les zones de champ fort, d’autres,
dans les zones de champ faible. Une description statistique de l’interaction
onde-particules s’impose ; nous étudierons donc la fonction de distribution
des vitesses f (v, t) et nous supposerons que la phase relative initiale entre
l’onde et la particule est uniformément distribuée, c’est l’hypothèse des
phases aléatoires (RPA).
Ainsi, nous prendrons la moyenne des quantités physiques sur toutes les positions
initiales accessibles x 0 . Sous cette hypothèse, l’interaction onde-particules peut être
vue comme une série :
émission / absorption / émission / émission / absorption / émission /...
Cette série de processus peut être considérée comme une marche aléatoire dans l’espace des énergies ou des vitesses. Dans le deuxième chapitre nous avons présenté
l’équation de Fokker-Planck (2.29) comme l’outil d’analyse des marches aléatoires,
aussi, nous allons nous attacher à calculer le coefficient de diffusion de la vitesse
dvdv x0 qui permet de décrire l’interaction de l’onde et des particules à travers
l’équation de Fokker-Planck dans l’espace des vitesses :
∂ f (v,t)
∂t
=
∂
∂v
dvdv x0
2dt
∂
∂v
f (v, t)
(8.45)
La puissance transférée de l’onde vers la particule, par unité de volume, est donnée
par :
w
W
m 3
= n
∂
∂t
+∞
−∞
m
2
v
2 f dv
→ →w = −nm
+∞
−∞
v
dvdv x0
2dt
∂ f
∂v
dv
(8.46)
où nous avons intégré par partie pour faire apparaître le coefficient de diffusion et
introduit n la densité volumique de particules.
Le coefficient de diffusion de la vitesse permet donc d’établir l’équation d’évolution de la population de particules (8.45) et de calculer le transfert irréversible de
puissance de l’onde vers le plasma (8.46). Pour calculer ce coefficient de diffusion,
normalisons les quantités aux données du problème : v = m = q = k = 1, effectuons un changement de repère vers le repère se déplaçant à la vitesse de phase de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
8 • Ondes, oscillations et résonances
chargée de masse m et de charge q. L’équation de Newton pour cette particule est
alors non-linéaire.
dv
dt
= −
q
m
d
dx
f cos (kx − vt + w) ,
dx
dt
= v
La phase relative initiale entre l’onde est la particule (kx 0 − vt 0 + w) n’est pas
un paramètre de contrôle du problème, à un instant donné, dans un plasma,
certaines particules se trouvent dans les zones de champ fort, d’autres,
dans les zones de champ faible. Une description statistique de l’interaction
onde-particules s’impose ; nous étudierons donc la fonction de distribution
des vitesses f (v, t) et nous supposerons que la phase relative initiale entre
l’onde et la particule est uniformément distribuée, c’est l’hypothèse des
phases aléatoires (RPA).
Ainsi, nous prendrons la moyenne des quantités physiques sur toutes les positions
initiales accessibles x 0 . Sous cette hypothèse, l’interaction onde-particules peut être
vue comme une série :
émission / absorption / émission / émission / absorption / émission /...
Cette série de processus peut être considérée comme une marche aléatoire dans l’espace des énergies ou des vitesses. Dans le deuxième chapitre nous avons présenté
l’équation de Fokker-Planck (2.29) comme l’outil d’analyse des marches aléatoires,
aussi, nous allons nous attacher à calculer le coefficient de diffusion de la vitesse
dvdv x0 qui permet de décrire l’interaction de l’onde et des particules à travers
l’équation de Fokker-Planck dans l’espace des vitesses :
∂ f (v,t)
∂t
=
∂
∂v
dvdv x0
2dt
∂
∂v
f (v, t)
(8.45)
La puissance transférée de l’onde vers la particule, par unité de volume, est donnée
par :
w
W
m 3
= n
∂
∂t
+∞
−∞
m
2
v
2 f dv
→ →w = −nm
+∞
−∞
v
dvdv x0
2dt
∂ f
∂v
dv
(8.46)
où nous avons intégré par partie pour faire apparaître le coefficient de diffusion et
introduit n la densité volumique de particules.
Le coefficient de diffusion de la vitesse permet donc d’établir l’équation d’évolution de la population de particules (8.45) et de calculer le transfert irréversible de
puissance de l’onde vers le plasma (8.46). Pour calculer ce coefficient de diffusion,
normalisons les quantités aux données du problème : v = m = q = k = 1, effectuons un changement de repère vers le repère se déplaçant à la vitesse de phase de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit