8.2 Modes électroniques et ioniques
285
par la dynamique électronique. Compte tenu de l’anisotropie créée par le champ
magnétique, une attention particulière devra être portée à la spécification de la polarisation du champ électrique et de la direction de propagation. En particulier, nous
parlerons de composantes transverse E t et longitudinale E l du champ électrique
par référence à la direction de propagation : E = E t + E l → E l = (E·k) k/k
2 ,
E t = k × (E × k) /k
2 et nous considérerons les composantes parallèle et perpendiculaire de ce même champ par référence à la direction du champ magnétique :
E = E + E ⊥ → E = (E·B 0 ) B 0 /B
2
0 , E ⊥ = B 0 × (E × B 0 ) /B
2
0 . En présence
d’un champ magnétique statique B 0 les équation de Maxwell-Faraday et MaxwellAmpère ne sont pas modifiées : k × E = vm 0 H, k × H = −vD, par contre,
l’équation d’Euler doit prendre en compte la force de Laplace générée par le champ
magnétique statique.
Équation d’Euler :
∂V e
∂t
+ (V e ·∇) V e =
q e
m e
E +
q e m 0
m e
V e ×H +
q e
m e
V e × B 0
La linéarisation de l’équation d’Euler électronique conduit à une équation algébrique
pour le courant J e : jvJ e = v
2
pe ´ 0 E−v ce J e × b où b = B 0 /B 0 . Cette équation
linéaire, d’inconnue J e , peut être résolue en formant les produits scalaire et vectoriel :
jvJ e ·b = v
2
pe ´ 0 E·b et jvJ e × b = v
2
pe ´ 0 E × b+v ce J e − v ce (J e ·b) b, du courant
avec le champ statique afin de substituer l’expression du produit vectoriel J e × b en
fonction du champ électrique E. Le résultat final est donné par :
J e = − j
v
2
pe v
v 2 − v 2
ce
´ 0 E + j
v ce
v
´ 0 E × b −
v
2
ce
v 2 (´ 0 E·b) b
(8.33)
La permittivité diélectrique, reliant le champ électrique et le déplacement électrique,
est donc de nature tensorielle.
D = ´ 0 E+
J e
jv
= ´ 0 ´ E +´ 0 ´ ⊥ E ⊥ + j´ 0 ´ × E ⊥ ×b = ´ 0
⎛
⎝
´ ⊥ − j´ × 0
j´ ×
´ ⊥
0
0
0
´
⎞
⎠ ·E
L’anisotropie induite par le champ magnétique se manifeste à travers le caractère
tensoriel de la permittivité relative ´ (v).
´ (v) = 1 −
v
2
pe
v 2 ,
´ ⊥ (v) = 1 −
v
2
pe
v 2 − v 2
ce
,
´ × (v) =
v ce
v
v
2
pe
v 2 − v 2
ce
L’élimination du champ magnétique et du courant (de la vitesse) entre les équations
de Maxwell-Faraday, Maxwell-Ampère et Euler permet d’exprimer le champ électrique comme la solution de l’équation linéaire homogène :
k × (k × E) +
v
2
c 2 ´ (v) ·E = 0
(8.34)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
285
par la dynamique électronique. Compte tenu de l’anisotropie créée par le champ
magnétique, une attention particulière devra être portée à la spécification de la polarisation du champ électrique et de la direction de propagation. En particulier, nous
parlerons de composantes transverse E t et longitudinale E l du champ électrique
par référence à la direction de propagation : E = E t + E l → E l = (E·k) k/k
2 ,
E t = k × (E × k) /k
2 et nous considérerons les composantes parallèle et perpendiculaire de ce même champ par référence à la direction du champ magnétique :
E = E + E ⊥ → E = (E·B 0 ) B 0 /B
2
0 , E ⊥ = B 0 × (E × B 0 ) /B
2
0 . En présence
d’un champ magnétique statique B 0 les équation de Maxwell-Faraday et MaxwellAmpère ne sont pas modifiées : k × E = vm 0 H, k × H = −vD, par contre,
l’équation d’Euler doit prendre en compte la force de Laplace générée par le champ
magnétique statique.
Équation d’Euler :
∂V e
∂t
+ (V e ·∇) V e =
q e
m e
E +
q e m 0
m e
V e ×H +
q e
m e
V e × B 0
La linéarisation de l’équation d’Euler électronique conduit à une équation algébrique
pour le courant J e : jvJ e = v
2
pe ´ 0 E−v ce J e × b où b = B 0 /B 0 . Cette équation
linéaire, d’inconnue J e , peut être résolue en formant les produits scalaire et vectoriel :
jvJ e ·b = v
2
pe ´ 0 E·b et jvJ e × b = v
2
pe ´ 0 E × b+v ce J e − v ce (J e ·b) b, du courant
avec le champ statique afin de substituer l’expression du produit vectoriel J e × b en
fonction du champ électrique E. Le résultat final est donné par :
J e = − j
v
2
pe v
v 2 − v 2
ce
´ 0 E + j
v ce
v
´ 0 E × b −
v
2
ce
v 2 (´ 0 E·b) b
(8.33)
La permittivité diélectrique, reliant le champ électrique et le déplacement électrique,
est donc de nature tensorielle.
D = ´ 0 E+
J e
jv
= ´ 0 ´ E +´ 0 ´ ⊥ E ⊥ + j´ 0 ´ × E ⊥ ×b = ´ 0
⎛
⎝
´ ⊥ − j´ × 0
j´ ×
´ ⊥
0
0
0
´
⎞
⎠ ·E
L’anisotropie induite par le champ magnétique se manifeste à travers le caractère
tensoriel de la permittivité relative ´ (v).
´ (v) = 1 −
v
2
pe
v 2 ,
´ ⊥ (v) = 1 −
v
2
pe
v 2 − v 2
ce
,
´ × (v) =
v ce
v
v
2
pe
v 2 − v 2
ce
L’élimination du champ magnétique et du courant (de la vitesse) entre les équations
de Maxwell-Faraday, Maxwell-Ampère et Euler permet d’exprimer le champ électrique comme la solution de l’équation linéaire homogène :
k × (k × E) +
v
2
c 2 ´ (v) ·E = 0
(8.34)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit