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8 • Ondes, oscillations et résonances
Il est nécessaire de distinguer la propagation parallèle au champ statique et la propagation perpendiculaire à ce champ.
Commençons par l’étude du premier cas et projetons la relation (8.34) sur une base
orthonormée directe (u x , u y , u z ) associée a un système de coordonnées cartésiennes
(x, y, z) tel que : b = (0, 0, 1) et k =
0, 0, k
.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
v
2
c 2 ´ ⊥ − k
2
− j
v
2
c 2 ´ ×
0
j
v
2
c 2 ´ ×
v
2
c 2 ´ ⊥ − k
2
0
0
0
v
2
c 2 ´
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
·
⎛
⎝
E x
E y
E z
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
0
0
⎞
⎠
Les modes plasmons peuvent se propager le long des lignes de champ car ´ (v) = 0
et
E x = 0, E y = 0, E z = 0
constitue une solution dont la relation de dispersion est
donnée par v = v p . Deux modes transverses peuvent aussi se propager le long des
lignes de champ ; ils sont solutions du système linéaire homogène :
⎛
⎜
⎝
v
2
c 2 ´ ⊥ − k
2
− j
v
2
c 2 ´ ×
j
v
2
c 2 ´ ×
v
2
c 2 ´ ⊥ − k
2
⎞
⎟
⎠ ·
E x
E y
=
0
0
Le mode gauche ou L (pour left) et le mode droit ou R (pour right), présentent
tous deux une polarisation circulaire et leurs relations de dispersion sont obtenues
en annulant le déterminant du système linéaire : k
2
c
2
= v
2 (´ ⊥ ± ´ × ).
Mode gauche L : k
2
=
v
2
c 2
1 −
v
2
pe
v (v + v ce )
(8.35)
Mode droit R : k
2
=
v
2
c 2
1 −
v
2
pe
v (v − v ce )
(8.36)
On notera, en rétablissant la dépendance temporelle réelle, que le mode R tourne
dans le sens direct (trigonométrique) : E x /E y = j et que le mode L tourne dans le
sens indirect (des aiguilles d’une montre) : E x /E y = − j. Le mouvement de rotation cyclotronique des électrons étant aussi dans le sens direct, le couplage onde
R/électrons devient résonnant lorsque v ≈ v ce . C’est effectivement le cas et le vecteur d’onde k présente une résonance pour v = v ce , cette valeur n’est atteinte que
pour un vecteur d’onde infini (Figures 8.8 et 8.9).
La figure 8.8 présente le diagramme de Brillouin pour les modes électroniques
transverses en propagation parallèle dans un plasma fortement magnétisé tel que
v ce > v pe ; la figure 8.9 présente le diagramme de Brillouin pour les modes
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
8 • Ondes, oscillations et résonances
Il est nécessaire de distinguer la propagation parallèle au champ statique et la propagation perpendiculaire à ce champ.
Commençons par l’étude du premier cas et projetons la relation (8.34) sur une base
orthonormée directe (u x , u y , u z ) associée a un système de coordonnées cartésiennes
(x, y, z) tel que : b = (0, 0, 1) et k =
0, 0, k
.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
v
2
c 2 ´ ⊥ − k
2
− j
v
2
c 2 ´ ×
0
j
v
2
c 2 ´ ×
v
2
c 2 ´ ⊥ − k
2
0
0
0
v
2
c 2 ´
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
·
⎛
⎝
E x
E y
E z
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
0
0
⎞
⎠
Les modes plasmons peuvent se propager le long des lignes de champ car ´ (v) = 0
et
E x = 0, E y = 0, E z = 0
constitue une solution dont la relation de dispersion est
donnée par v = v p . Deux modes transverses peuvent aussi se propager le long des
lignes de champ ; ils sont solutions du système linéaire homogène :
⎛
⎜
⎝
v
2
c 2 ´ ⊥ − k
2
− j
v
2
c 2 ´ ×
j
v
2
c 2 ´ ×
v
2
c 2 ´ ⊥ − k
2
⎞
⎟
⎠ ·
E x
E y
=
0
0
Le mode gauche ou L (pour left) et le mode droit ou R (pour right), présentent
tous deux une polarisation circulaire et leurs relations de dispersion sont obtenues
en annulant le déterminant du système linéaire : k
2
c
2
= v
2 (´ ⊥ ± ´ × ).
Mode gauche L : k
2
=
v
2
c 2
1 −
v
2
pe
v (v + v ce )
(8.35)
Mode droit R : k
2
=
v
2
c 2
1 −
v
2
pe
v (v − v ce )
(8.36)
On notera, en rétablissant la dépendance temporelle réelle, que le mode R tourne
dans le sens direct (trigonométrique) : E x /E y = j et que le mode L tourne dans le
sens indirect (des aiguilles d’une montre) : E x /E y = − j. Le mouvement de rotation cyclotronique des électrons étant aussi dans le sens direct, le couplage onde
R/électrons devient résonnant lorsque v ≈ v ce . C’est effectivement le cas et le vecteur d’onde k présente une résonance pour v = v ce , cette valeur n’est atteinte que
pour un vecteur d’onde infini (Figures 8.8 et 8.9).
La figure 8.8 présente le diagramme de Brillouin pour les modes électroniques
transverses en propagation parallèle dans un plasma fortement magnétisé tel que
v ce > v pe ; la figure 8.9 présente le diagramme de Brillouin pour les modes
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit