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8 • Ondes, oscillations et résonances
Les cinq équations de base de ce modèle fluide sont les équations de MaxwellAmpère et Maxwell-Faraday qui permettent d’exprimer les champs en fonction des
courants ; ainsi que l’équation d’Euler, l’équation de continuité et l’équation d’état
isentropique qui permettent de calculer le courant en fonction des champs.
Équation de Maxwell-Faraday : ∇ × E = −m 0
∂H
∂t
Équation de Maxwell-Ampère : ∇ × H = J e +J i +´ 0
∂E
∂t
Équation de continuité :
∂ N
∂t
+ ∇· (N V) = 0
Équation d’Euler :
∂V
∂t
+ (V·∇) V =
q
m
E+
qm 0
m
V × H
Équation d’état :
∂ P
∂ N
S
= gk B T
(8.24)
où k B est la constante de Botzmann que l’on ne confondra pas avec le vecteur d’onde
k. Ce système admet des solutions somme d’une solution d’équilibre statique (B 0 si
le plasma est magnétisé, P la pression au repos si le plasma est chaud et N la densité
au repos) plus une perturbation harmonique, le mode plasma recherché.
Champ magnétique :
B 0
m 0
+ H exp j [vt − k·r]
Champ électrique : 0 + E exp j [vt − k·r]
Courants ionique et électronique : 0 + J exp j [vt − k·r]
Pressions ionique et électronique : P + p exp j [vt − k·r]
Densités électronique et ionique : N + n exp j [vt − k·r]
(8.25)
Lorsque ces solutions (8.25) sont substituées dans le système (8.24) les produits de
deux quantités perturbatrices sont négligés conformément au protocole de linéarisation, en particulier, les termes linéarisés associés à (V·∇) V et V × H sont identiquement nuls. Les résultats sont exprimés en fonction des fréquences plasma et
cyclotron du plasma à l’équilibre :
v
2
pe = N e q
2
e /´ 0 m e , v
2
pi = N i q
2
i /´ 0 m i , v ce = |q e | B 0 /m e et v ci = q i B 0 /m i .
8.2.1 Photons, plasmons, phonons
Considérons, en premier lieu, le cas des plasmas non magnétisés. Négligeons la
réponse ionique et les effets de compressibilité dus à la pression électronique, injectons des solutions du type (8.25) dans (8.24) et calculons l’amplitude du courant
électronique J e solution de l’équation d’Euler linéarisée. Ce courant est fonction
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
8 • Ondes, oscillations et résonances
Les cinq équations de base de ce modèle fluide sont les équations de MaxwellAmpère et Maxwell-Faraday qui permettent d’exprimer les champs en fonction des
courants ; ainsi que l’équation d’Euler, l’équation de continuité et l’équation d’état
isentropique qui permettent de calculer le courant en fonction des champs.
Équation de Maxwell-Faraday : ∇ × E = −m 0
∂H
∂t
Équation de Maxwell-Ampère : ∇ × H = J e +J i +´ 0
∂E
∂t
Équation de continuité :
∂ N
∂t
+ ∇· (N V) = 0
Équation d’Euler :
∂V
∂t
+ (V·∇) V =
q
m
E+
qm 0
m
V × H
Équation d’état :
∂ P
∂ N
S
= gk B T
(8.24)
où k B est la constante de Botzmann que l’on ne confondra pas avec le vecteur d’onde
k. Ce système admet des solutions somme d’une solution d’équilibre statique (B 0 si
le plasma est magnétisé, P la pression au repos si le plasma est chaud et N la densité
au repos) plus une perturbation harmonique, le mode plasma recherché.
Champ magnétique :
B 0
m 0
+ H exp j [vt − k·r]
Champ électrique : 0 + E exp j [vt − k·r]
Courants ionique et électronique : 0 + J exp j [vt − k·r]
Pressions ionique et électronique : P + p exp j [vt − k·r]
Densités électronique et ionique : N + n exp j [vt − k·r]
(8.25)
Lorsque ces solutions (8.25) sont substituées dans le système (8.24) les produits de
deux quantités perturbatrices sont négligés conformément au protocole de linéarisation, en particulier, les termes linéarisés associés à (V·∇) V et V × H sont identiquement nuls. Les résultats sont exprimés en fonction des fréquences plasma et
cyclotron du plasma à l’équilibre :
v
2
pe = N e q
2
e /´ 0 m e , v
2
pi = N i q
2
i /´ 0 m i , v ce = |q e | B 0 /m e et v ci = q i B 0 /m i .
8.2.1 Photons, plasmons, phonons
Considérons, en premier lieu, le cas des plasmas non magnétisés. Négligeons la
réponse ionique et les effets de compressibilité dus à la pression électronique, injectons des solutions du type (8.25) dans (8.24) et calculons l’amplitude du courant
électronique J e solution de l’équation d’Euler linéarisée. Ce courant est fonction
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit