278
8 • Ondes, oscillations et résonances
etc. L’élimination du champ magnétique entre les équations de Maxwell-Ampère et
Maxwell-Faraday permet d’établir une équation d’onde inhomogène.
∂
2
E
∂z 2 −
1
c 2
∂
2
E
∂t 2 = m 0
∂J
∂t
(8.22)
Intéressons-nous à des solutions quasi-monochromatiques, c’est-à-dire à des OPMH
régularisées pour prendre en compte les conditions initiales et aux limites :
E (z, t) = E (z, t) exp j [vt − k (v) z] e x ,
J (z, t) = J (z, t) exp j [vt − k (v) z] e x
et vérifiant l’hypothèse d’adiabaticité : ∂ E/∂t vE, ∂ J /∂t vJ . Définissons
la vitesse de propagation de l’enveloppe V g comme la vitesse d’un observateur en
translation uniforme qui mesure une amplitude constante E (z, t) = C
te dans son
repère propre.
E (z, t) = C
te
→
∂ E
∂z
dz +
∂ E
∂t
dt = 0 → V g =
dz
dt
E=C te
= −
∂ E
∂t
∂ E
∂z
L’expression de la transformée de Fourier de l’équation d’onde inhomogène (8.22)
nécessite l’évaluation du terme source ∂ J /∂t suivant la relation 8.16.
∂ J
∂t
= −v
2
´
(v) − ´ 0
E exp j [vt − k (v) z]
+ j
∂v
2
´ (v) − ´ 0
∂v
∂ E
∂t
exp j [vt − k (v) z]
Cette expression et le champ quasi-monochromatique sont ensuite substitués dans
l’équation d’onde inhomogène (8.22) ; les parties réelle et imaginaire de l’identité
ainsi obtenue doivent être vérifiées séparément.
v
2
c 2 − k
2
E = −m 0 v
2
´
− ´ 0
E → k
2
= m 0 v
2
´
2k
∂ E
∂z
+ 2
v
c 2
∂ E
∂t
= −m 0
∂v
2
´
− ´ 0
∂v
∂ E
∂t
→ 2k
∂ E
∂z
= −
∂k
2
∂v
∂ E
∂t
Ainsi, la vitesse de groupe définie comme la vitesse de propagation de l’enveloppe
est-elle égale à la vitesse de groupe définie comme la vitesse de propagation de
l’énergie.
V g ≡
dz
dt
E=C te
=
∂v
∂k
(8.23)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit