8.1 Ondes électromagnétiques
277
Cette vitesse de phase ne renseigne en rien sur la vitesse de propagation de l’énergie
ou vitesse de groupe V g . Pour identifier cette dernière quantité, dérivons les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday, en régime harmonique, par rapport
à la pulsation.
∇ ×
∂E ∗
∂v
= j
∂vm
∂v
·H
∗ + jvm·
∂H ∗
∂v
, ∇ ×
∂H ∗
∂v
= − j
∂v´
∂v
·E
∗
− jv´·
∂E ∗
∂v
Puis, considérons toujours la même identité vectorielle :
∇· (A × B) = B·∇ × A − A·∇ × B
afin d’exprimer la densité volumique d’énergie.
∇·
∂E ∗
∂v
× H + E ×
∂H ∗
∂v
=
jH·
∂vm
∂v
·H
∗ + jE·
∂v´
∂v
·E
∗
= 4 j u
Dans le cas particulier des OPMH dispersives : E (r) = E 0 exp (− jk (v) ·r), H (r)
= H 0 exp (− jk (v) ·r), le premier terme de cette identité peut être aisément évalué.
∂E ∗
∂v
× H + E ×
∂H ∗
∂v
= j
∂k
∂v
·r
E
∗
0 × H 0 + E 0 × H
∗
0
La divergence du vecteur de Poynting en régime harmonique
S = E 0 × H
∗
0 /2 peut
alors être introduite.
∇·
∂k
∂v
·r
Re
S
= u →
∂k
∂v
· Re
S = u → Re
S =
∂v
∂k
u
Le rapport du flux de puissance à la densité volumique d’énergie offre une première
définition de la vitesse de propagation de l’énergie V g .
V g ≡
Re
S
u
=
∂v
∂k
(8.21)
L’inclusion des termes de dissipation ´
et m
ne modifie pas ce dernier résultat si les
courants (actifs) associés à cette dissipation sont petits devant les courants (réactifs)
sources de la dispersion. La vitesse de groupe ainsi définie ne nous renseigne pas
uniquement sur la vitesse de transport de l’énergie mais aussi sur la vitesse de transport de l’information. Pour transmettre de l’information il est nécessaire de définir
un code et de coder en conséquence un onde dite porteuse (d’information) soit en
modulant son enveloppe (AM) soit en modulant sa fréquence (FM). Dans le cas de la
modulation de l’enveloppe nous allons démontrer que cette modulation d’amplitude
se propage à une vitesse égale à la vitesse de groupe.
Considérons la propagation du champ électrique E d’une OPMH dans un plasma
développant des courants J de nature variée, polarisation (2.13), conduction (8.14),
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Cette vitesse de phase ne renseigne en rien sur la vitesse de propagation de l’énergie
ou vitesse de groupe V g . Pour identifier cette dernière quantité, dérivons les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday, en régime harmonique, par rapport
à la pulsation.
∇ ×
∂E ∗
∂v
= j
∂vm
∂v
·H
∗ + jvm·
∂H ∗
∂v
, ∇ ×
∂H ∗
∂v
= − j
∂v´
∂v
·E
∗
− jv´·
∂E ∗
∂v
Puis, considérons toujours la même identité vectorielle :
∇· (A × B) = B·∇ × A − A·∇ × B
afin d’exprimer la densité volumique d’énergie.
∇·
∂E ∗
∂v
× H + E ×
∂H ∗
∂v
=
jH·
∂vm
∂v
·H
∗ + jE·
∂v´
∂v
·E
∗
= 4 j u
Dans le cas particulier des OPMH dispersives : E (r) = E 0 exp (− jk (v) ·r), H (r)
= H 0 exp (− jk (v) ·r), le premier terme de cette identité peut être aisément évalué.
∂E ∗
∂v
× H + E ×
∂H ∗
∂v
= j
∂k
∂v
·r
E
∗
0 × H 0 + E 0 × H
∗
0
La divergence du vecteur de Poynting en régime harmonique
S = E 0 × H
∗
0 /2 peut
alors être introduite.
∇·
∂k
∂v
·r
Re
S
= u →
∂k
∂v
· Re
S = u → Re
S =
∂v
∂k
u
Le rapport du flux de puissance à la densité volumique d’énergie offre une première
définition de la vitesse de propagation de l’énergie V g .
V g ≡
Re
S
u
=
∂v
∂k
(8.21)
L’inclusion des termes de dissipation ´
et m
ne modifie pas ce dernier résultat si les
courants (actifs) associés à cette dissipation sont petits devant les courants (réactifs)
sources de la dispersion. La vitesse de groupe ainsi définie ne nous renseigne pas
uniquement sur la vitesse de transport de l’énergie mais aussi sur la vitesse de transport de l’information. Pour transmettre de l’information il est nécessaire de définir
un code et de coder en conséquence un onde dite porteuse (d’information) soit en
modulant son enveloppe (AM) soit en modulant sa fréquence (FM). Dans le cas de la
modulation de l’enveloppe nous allons démontrer que cette modulation d’amplitude
se propage à une vitesse égale à la vitesse de groupe.
Considérons la propagation du champ électrique E d’une OPMH dans un plasma
développant des courants J de nature variée, polarisation (2.13), conduction (8.14),
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit