8.1 Ondes électromagnétiques
275
Nous avons donc établi les expressions (i) de la densité volumique moyenne d’énergie stockée dans le champ et (ii) le plasma en régime harmonique et de la densité
volumique moyenne de puissance transférée irreversiblement entre le plasma et le
champ ; une relation dynamique entre ces deux quantités doit maintenant être établie
pour traduire la conservation de l’énergie globale du champ et du plasma. En effet, le
champ se propageant, l’énergie perdue localement par le champ n’est pas seulement
gagnée par le plasma mais elle est aussi rayonnée au loin, l’identification d’un flux
de puissance en régime harmonique est donc nécessaire. Comme dans le cas général,
considérons l’identité :
∇·
E × H
∗
= H
∗
· (∇ × E) −E·
∇ × H
∗
= −H
∗
·∂B/∂t−E·∂D
∗
/∂t
et calculons les dérivées temporelles du déplacement électrique D et de l’induction
magnétique B pour un champ de durée finie décrit par une enveloppe lentement
variable.
∂D
∂t
= jv´
·E exp ( jvt) + v´
·E exp ( jvt) +
∂v´
∂v
·
∂E
∂t
exp ( jvt)
∂B
∂t
= jvm
·H exp ( jvt) + vm
·H exp ( jvt) +
∂vm
∂v
·
∂H
∂t
exp ( jvt)
Ces deux expressions étant ensuite substituées dans l’expression de la divergence du
produit vectoriel des champs électrique et magnétique, les densités d’énergies et de
puissances apparaissent alors,
∇· Re
E × H
∗
2
= −
1
4
∂
∂t
E·
∂v´
∂v
·E
∗
−
1
4
∂
∂t
H·
∂vm
∂v
·H
∗
−
1
2
vE·´
·E
∗
−
1
2
vH·m
·H
∗
Ainsi, la définition du flux d’énergie électromagnétique moyen comme la partie
réelle du vecteur de Poynting en régime harmonique :
S = E × H
∗
/2 conduit à
l’équation de conservation (ou de transport) pour l’énergie électromagnétique dans
un plasma :
S
W
m 2
≡
E × H
∗
2
→
∂ u
∂t
+ ∇· Re
S = w
(8.20)
Cette relation est conforme à l’intuition physique : le taux de variation temporelle de
l’énergie électromagnétique moyenne stockée dans un champ harmonique interagissant avec un plasma en régime harmonique est égal aux flux du vecteur de Poynting
et aux transferts irréversibles champ-plasma qui peuvent être positif ou négatif selon
la nature du problème : ondes amorties ou instabilités. Il serait intéressant et instructif
de considérer la partie imaginaire du vecteur de Poynting complexe
S = E × H
∗
/2.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Nous avons donc établi les expressions (i) de la densité volumique moyenne d’énergie stockée dans le champ et (ii) le plasma en régime harmonique et de la densité
volumique moyenne de puissance transférée irreversiblement entre le plasma et le
champ ; une relation dynamique entre ces deux quantités doit maintenant être établie
pour traduire la conservation de l’énergie globale du champ et du plasma. En effet, le
champ se propageant, l’énergie perdue localement par le champ n’est pas seulement
gagnée par le plasma mais elle est aussi rayonnée au loin, l’identification d’un flux
de puissance en régime harmonique est donc nécessaire. Comme dans le cas général,
considérons l’identité :
∇·
E × H
∗
= H
∗
· (∇ × E) −E·
∇ × H
∗
= −H
∗
·∂B/∂t−E·∂D
∗
/∂t
et calculons les dérivées temporelles du déplacement électrique D et de l’induction
magnétique B pour un champ de durée finie décrit par une enveloppe lentement
variable.
∂D
∂t
= jv´
·E exp ( jvt) + v´
·E exp ( jvt) +
∂v´
∂v
·
∂E
∂t
exp ( jvt)
∂B
∂t
= jvm
·H exp ( jvt) + vm
·H exp ( jvt) +
∂vm
∂v
·
∂H
∂t
exp ( jvt)
Ces deux expressions étant ensuite substituées dans l’expression de la divergence du
produit vectoriel des champs électrique et magnétique, les densités d’énergies et de
puissances apparaissent alors,
∇· Re
E × H
∗
2
= −
1
4
∂
∂t
E·
∂v´
∂v
·E
∗
−
1
4
∂
∂t
H·
∂vm
∂v
·H
∗
−
1
2
vE·´
·E
∗
−
1
2
vH·m
·H
∗
Ainsi, la définition du flux d’énergie électromagnétique moyen comme la partie
réelle du vecteur de Poynting en régime harmonique :
S = E × H
∗
/2 conduit à
l’équation de conservation (ou de transport) pour l’énergie électromagnétique dans
un plasma :
S
W
m 2
≡
E × H
∗
2
→
∂ u
∂t
+ ∇· Re
S = w
(8.20)
Cette relation est conforme à l’intuition physique : le taux de variation temporelle de
l’énergie électromagnétique moyenne stockée dans un champ harmonique interagissant avec un plasma en régime harmonique est égal aux flux du vecteur de Poynting
et aux transferts irréversibles champ-plasma qui peuvent être positif ou négatif selon
la nature du problème : ondes amorties ou instabilités. Il serait intéressant et instructif
de considérer la partie imaginaire du vecteur de Poynting complexe
S = E × H
∗
/2.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit